całki całeczki całka:

	cos2 x
∫		dx
	2+sin2 x

Wyszło mi inaczej niż pokazuje mi wolfram, może ktoś podzielić się swoim wynikiem?

ford:

	√6		√6
ja mam		*arctg(		tgx)−x+C
	2		2

	√6		√6
może też być (równie dobrze)		*arctg(		tgx)−arctg(tgx)+C
	2		2

całka: Czyli coś poszło totalnie nie tak, mógłbyś pokazac jak to zrobileś mniej więcej? Ja zrobiłam takie podstawienia: t=tgx, sin²x=t²/(2+t²), cos²= 1/(1+t²) dx= dt/(1+t²)

	1		3		3
i mój wynik to		*√		arctg *√		*tgx
	3		2		2

całka: (...) + C

całka: i analogicznie jak trzeba zrobić wtedy taką całkę?

	sin2 x
∫		dx
	2+cos2 x

ford: może błąd leży w podstawieniu ?

	t2		t2
sin2x =		, a nie
	1+t2		2+t2

	sin2x
Ja zrobiłem to, kierując się następującą zasadą oraz wzorem		=tg2x oraz 1
	cos2x

trygonometryczną: Mając dowolny ułamek, możesz podzielić każdy składnik ułamka przez tę samą liczbę, nie zmieniając wartości ułamka Przykład

15−6
	policzmy normalnie, a potem dzieląc każdy składnik przez liczbę 3
9−6

30−6		24
	=		= 4
12−6		6

30−6		30   6   − 3   3		10−2		8
	=		=		=		= 4
12−6		12   6   − 3   3		4−2		2

Zastosujmy to w całce, dzieląc każdy składnik ułamka przez cos²x, wcześniej zamieniając 2 na 2*1, czyli na 2*(sin²x+cos²x)

	cos2x		cos2x
∫		dx = ∫		dx = ∫
	2+sin2x		2(sin2x+cos2x)+sin2x

	cos2x
		dx =
	3sin2x+2cos2x

	cos2x   cos2x
= ∫		dx =
	3sin2x   2cos2x   + cos2x   cos2x

	1
= ∫		dx = ...
	3tg2x+2

Teraz podstawienie tgx = t, wówczas (z wł. funkcji odwrotnej) mamy x = arctg t, więc po zróżniczkowaniu stronami

	1
dx =		dt
	1+t2

	1		1		1
... = ∫		*		dt = ∫		dt = ...
	3t2+2		1+t2		(3t2+2)(1+t2)

rozkład na ułamki proste:

1		At+B		Ct+D
	=		+
(3t2+2)(1+t2)		3t2+2		1+t2

z którego mam A=0, B=3, C=0, D=−1

	1		3		−1
... = ∫		dt = ∫		dt + ∫		dt
	(3t2+2)(1+t2)		3t2+2		1+t2

z drugiej całki już mam −arctg(t), czyli −arctg(tgx) czyli po prostu −x zostaje pierwsza całka korzystam z tej zasady o dzieleniu ułamka przez tę samą liczbę żeby doprowadzić całkę do

	1		1		t
postaci ∫		dt na którą mam wzór		arctg(		)+C
	t2+a2		a		a

	3		3   3		1
∫		dt = ∫		dt = ∫		dt =
	3t2+2		3t2   2   + 3   3		2   t2+   3

	1		1		t
= ∫		dt =		*arctg(		) + C
	t2+√2/32		√2/3		√2/3

	1		6
wykorzystuję fakt że		=		(usuwanie niewymierności z mianownika)
	√2/3		2

1		√3		√2		√6
	= √3/2 =		*		=
√2/3		√2		√2		2

	1		6
podstawiając tgx w miejsce t oraz uwzględniając		=		oraz wynik (−x) z
	√2/3		2

drugiej całki, ostatecznie

	√6		√6
... =		*arctg(		tgx) − x + C
	2		2

ford:

	1		√6		6
*oczywiście		=		miało być, a nie
	√2/3		2		2

	sin2x
całkę ∫		dx
	2+cos2x

obliczysz, kierując się moim rozwiązaniem jeśli obliczysz, możesz podać swój wynik − sprawdzimy

całka: Dziękuję bardzo już się biorę za analizowanie i liczenie

całka: Przepraszam, że tak późno Wyliczyłam i sprawdziłam na kalkulatorze wynik. Dziękuję bardzo za pomoc! Gdyby ktoś szukał w przyszłości:

	3√6		√6
Wynik:		arctg (		tgx) − x
	6		3

całka: no i dodać C