Pole powierzchni Amm: Cześć. Mam problem z zadaniem Wyznacz pole powierzchni obszaru ograniczonego krzywą o równaniu: (x²+y²)²=a²(x³−3x*y²)

jc: Trójlistna koniczynka? Przejdź do zmiennych biegunowych. x = r cos t y = r sin t r⁴=a² r³ cos 3t pole = 3∫_−π/6^π/6 dt ∫₀^{a2cos 3t} r dr = ...

Amm: Nie rozumiem skąd tu się wzięło cos(3t), przecież r⁴(sin² t + cos² t =a²(r³*cos³ t −3r³*cos t *sin² t) r⁴=a²*r³(cos³ t −3*cos t +3*cos³ t)=a²*r³(4cos³ t −3*cos t)

jc: (cos t + i sin t)³ = (cos³t − 3cos t sin² t) + i(..) (cos t + i sin t)³ = cos 3t + i sin 3t Teraz wystarczy porównać.

Amm: Rozumiem. Dziękuję bardzo

Mariusz: Nie lepiej użyć równania parametrycznego i całki pojedynczej

jc: Mariusz, przecież to praktycznie całka pojedyncza.

	1
pole =		∫ab r2(t) dt
	2

Mariusz: y=a²cos(3t)sin(t) x=a²cos(3t)cos(t) sin(A−B)=sin(A)cos(B)−sin(B)cos(A) sin(A+B)=sin(A)cos(B)+sin(B)cos(A) 2cos(A)sin(B)=(sin(A+B)−sin(A−B)) cos(A+B)=cos(A)cos(B)−sin(A)sin(B) cos(A−B)=cos(A)cos(B)+sin(A)sin(B) 2cos(A)cos(B)=(cos(A+B)+cos(A−B))

	a2
y=		(sin(4t)−sin(2t))
	2

	a2
x=		(cos(4t)+cos(2t))
	2

a4
	∫0π(sin(4t)−sin(2t))(−4sin(4t)−2sin(2t))dt
4

	a4
−		∫0π(4sin2(4t)+2sin(4t)sin(2t)−4sin(4t)sin(2t)−2sin2(2t))dt
	4

	a4
−		∫0π{2−2cos(8t)+2sin(4t)sin(−2t)−1+cos(4t)}dt
	4

2sin(A)sin(B)=cos(A−B)−cos(A+B)

	a4
−		∫0π{−2cos(8t)+cos(6t)+cos(4t)−cos(2t)+1}dt
	4

a4
	∫0π{2cos(8t)−cos(6t)−cos(4t)+cos(2t)−1}dt
4

jc: Mariusz, nie trzeba tyle liczyć.

	3a4		3a4		π
Pole =		∫−π/6π/6 cos23t dt =		*
	2		2		6

Mariusz: Ale dlaczego z równania parametrycznego wychodzi pole ujemne

jc: Jaki wzór na pole stosujesz?

Mariusz: ∫_t1^t₂y(t)x'(t)dt

Mariusz: gdzie t₁=0 t₂=π x(t)=a²cos(3t)cos(t) x(t)=a²cos(3t)sin(t)

Mariusz: Gdyby przyjąć że t₀=π a t₁=0 to całka będzie dodatnia ale dlaczego akurat w ten sposób to należy przyjąć

jc: Nawet kwadrat x=t, y=0, t∊[0,1], zero x=1, y=t, t∊[0,1], zero x=1−t, y=1, t∊[0,1], −1 x=0, y=1−t, t∊[0,1], zero wg tego wzoru ma pole = −1. Ale może coś źle zrozumiałem.

Mariusz: A to nie jest tak że przedział całkowania rozbija się na podprzedziały tak aby znak pochodnej na każdym z podprzedziałów był stały i jeśli pochodna jest na podprzedziale ujemna to przed całką stawia się minus ?

jc: Weź moduł z wyniku, będzie lepiej.