Całka Riemanna kasia: Całka Riemanna. Funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna, gdy ciąg uogólniony jej sum Riemanna jest zbieżny. Moje pytanie: Czy podziały scentrowane (z których liczymy sumę Riemanna) muszą być coraz drobniejsze, czy nie mamy takiego założenia?

kasia: I skoro jest to granica ciągu tych sum, czy może to też rozumieć jako sumę granic sum Riemanna?

jc: Nie wiem, co to podziały scentrowane. W posiadanych przeze mnie podręcznikach definiuję sumę dolną (sumę pól prostokątów mieszczących się pod wykresem). Kres górny takich sum to całka dolna. Jeśli całka górna = całka dolna, to wspólną liczbę nazywamy całką. Dla funkcji stałej, suma może składać się z jednego składnika. Dla funkcji schodkowych, o skończonej liczbie schodków, wystarczy skończona liczba składników. Czyli przedziały nie muszą być coraz drobniejsze. Jeśli całka istnieje, to można brać dowolną sumę (dowolny podział) taki, że długości przedziałów maleją do zera, a długości przedziałów można mnożyć np. przez dowolną wartości funkcji w poszczególnych przedziałach. W granicy otrzymamy to samo. Dodam, że całka Riemanna (z funkcji ograniczone, tylko dla takich definicja ma sens) istnieje ⇔ zbiór punktów nieciągłości funkcji ma miarę zero.

kasia: Podziały scentrowane to znaczy, że jeżeli mamy podział odcinka, to w każdym tym kawałeczku wybieramy sobie punkt. I ten podział, razem z punktami w każdym kawałku, nazywamy podziałem scentrowanym.

Mariusz: Mnie to bardziej przypomina to co amerykańcy nazywają midpoint rule czy jakoś tak czyli jako wysokość prostokąta bierzemy wartość funkcji dla x znajdującego się w środku podprzedziału Całką będzie granica sumy pól tych prostokątów gdzie najdłuższy podprzedział dąży do zera lub liczba podprzedziałów dąży do nieskończoności

jc: Dla funkcji stałej wystarczy podział na jeden przedział. ∫₀⁵ 1 dx = (5−0)*1=5 (ta jedynka to wartość np. w punkcie 3).

	1
Przy okazji: ciąg Sn=		∑k=1n f(k/n) może mieć granicę dla funkcji niecałkowalnej.
	n

jc: Mariusz, wolę definicję z kresami. Potem jest dość oczywiste, że dla funkcji całkowalnych, pewne sumy dążą do całki.

Mariusz:

	1
"Przy okazji: ciąg Sn=		∑k=1n f(k/n) może mieć granicę dla funkcji
	n

niecałkowalnej." jc czyli definicja z granicą nie jest poprawna ? Mimo to można ją spotkać w niektórych podręcznikach czy tablicach

kasia: Mariusz, x nie musi byc po środku tego podprzedziału.

jc: Na pewno jest tam powiedziane, że dla każdej sumy ma wyjść tyle samo. A to tylko jedna z możliwych sum. Oczywiście dla funkcji całkowalnych wszystko jet ok. Trochę jak z granicami. Jak wiesz, że granica funkcji istnieje, możesz wstawić wybrany przez siebie ciąg zbieżny i wynik będzie prawidłowy.