Jądro i obraz przekształcenia Elena: Wyznaczyć Kerφ oraz Imφ dla przekształcenia (φ(f))(x) = (x+1)f'(x) w przestrzeni R₄[x] oraz podać jego rząd i defekt. Przyjmuję,że f(x)=ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e gdzie a,b,c,d,e ∊ R. 1) Kerφ: φ(f(x))=4ax⁴ + (3b+4a)x³ + (2c+3b)x² + (d+2c)x +d 4a=0 , 3b+4a=0 , 2c+3b=0 , d+2c= 0 więc Ker: f(x)=e , e∊R , dimKerφ=1 2) Imφ: φ(f(x)) = a(4x⁴ + 4x³) + b(3x³ + 3x²) + c(2x² + 2x) + d(x+1) a więc Imφ: lin{4x⁴ + 4x³ , 3x³ + 3x² , 2x² + 2x , x+1} , dimImφ= 4 Czy takie rozwiązanie jest poprawne?

jc: Tak, choć ktoś mógłby poprosić o uzasadnienie, że wielomiany wymienione po słowie lin są liniowo niezależne.

Elena: Ok,a jeśli po prostu oblicze rząd macierzy utworzonej z tych wielomianów i wynosi on 4 to nie oznacza to,że są liniowo niezależne?

jc: 4a=0 4a+3b=0 3b+2c=0 2c+d=0 d=0 a=b=c=d=0