Rozwiąż następujące zagadnienie Cauchy'ego k: Rozwiąż następujące zagadnienie Cauchy'ego y''−y=xe^x + e^2x

	1
y(0)=
	4

	1
y'(0)=
	2

Leszek: Rownanie charakterystyczne : r² − r = 0 ⇒r₁ = 0 , r₂ = 1 Rozwiazanie : y = Ae^r₁x + Be^r₂x Podstaw do rownania wyznacz A i B , dokoncz ......

jc: Jaką metodę stosujecie? − uzmiennianie stałych − przewidywanie rozwiązania − metodę operatorową (transformata Laplace'a) − jakiś inny sposób

Mariusz: Warunki początkowe są tak dobrane że można użyć metody operatorowej ∫₀^∞f''(t)e^−stdt=f'(t)e^−st|₀^∞−∫−sf'(t)e^−stdt ∫₀^∞f''(t)e^−stdt=0−f'(0⁺)+sL(f'(t)) ∫₀^∞f''(t)e^−stdt=−f'(0⁺)+s(f(t)e^−st|₀^∞ −∫₀^∞−sf(t)e^−stdt) ∫₀^∞f''(t)e^−stdt=−f'(0⁺)+s(0−f(0⁺)−∫₀^∞−sf(t)e^−stdt) ∫₀^∞f''(t)e^−stdt=−f'(0⁺)−sf(0⁺)+s²∫₀^∞f(t)e^−stdt

	1		1		1		1
(−		−		s+s2Y(s))−Y(s)=		+
	2		4		(s−1)2		s−2

	1		1		1		1
(s2−1)Y(s)=		+		s+		+
	2		4		(s−1)2		s−2

	1	(s+2)(s−1)2(s−2)+4(s−2)+4(s2−2s+1)
(s2−1)Y(s)=
	4	(s−1)2(s−2)

	1	(s2−4)(s2−2s+1)+4s2+2s−4
(s2−1)Y(s)=
	4	(s−1)2(s−2)

	1	s4−2s3+s2+10s−8
Y(s)=
	4	(s+1)(s−1)3(s−2)

1	s4−2s3+s2+10s−8
		=
4	(s+1)(s−1)3(s−2)

A		B		C		D		E
	+		+		+		+
s+1		s−1		(s−1)2		(s−1)3		s−2

k: Ogólnie to potrafie obliczyć CORJ (całkę ogólną równania jednorodnego) Przyjmując y(x)=e{λx y'(x)=λe^λx y''(x)=λ²e^λx Podstawiając do równania w poszukiwaniu CORJ λ²e^λx−e^λx=0 e^λx(λ²−1)=0 λ=1 v λ=−1 e^x v e^−x

	⎧	ex e−x
Wrońskian =	⎩	ex −e−x	= −e0 − e0 = −2 ≠ 0

Zatem CORJ=y=C₁*e^x+C₂*e^−x y(0)=C₁*e⁰+C₂*e⁻⁰=C₁ + C₂

	1
C1 + C2 =
	4

No i teraz nie wiem jak się zabrać za y'(0)

k: Liczę pochodną z funkcji y?

	1
y'=C1*ex−C2*e−x i za to podstawiam		?
	2

jc: Myślę, że najłatwiej odgadnąć wynik. (e^2x)'' − e^2x = 3e^2x

1
	e2x da nam e2x
3

Jak uzyskać xe^x? (xe^x)''−xe^x = 2e^x (x²e^x)'' − x²e^x = 4^xe^x+2e^x Widzimy, że

1
	(x2−x)ex daje nam xex
4

	1		1
Zatem y = Aex + Be−x +		e2x +		(x2−x)ex,
	3		4

Teraz dobieraj A i B.

Mariusz: Coś pomyliłem z mianownikiem ale macierz odwrotna układu równań powstałego z rozkładu na sumę ułamków prostych to A⁻¹= 1/24 −1/24 1/24 −1/24 1/24 −105/24 −63/24 −33/24 −15/24 −9/24 −54/24 −42/24 −30/24 −18/24 −6/24 −12/24 −12/24 −12/24 −12/24 −12/24 128/24 64/24 32/24 16/24 8/24

jc: Dokończę. A+B+1/3=1/4 A−B+2/3−1/4=1/4 A+B=−1/12 A−B =−1/6 A=−1/8, B=1/24

Mariusz: Jak chcesz użyć Wrońskianu to Rozwiązujesz układ równań C₁'(x)e^x+C₂'(x)e^−x=0 C₁'(x)e^x−C₂'(x)e^−x=xe^x+e^2x metodą Cramera e^x e^−x e^x −e^−x −e⁰−e⁰=−2 0 e^−x xe^x+e^2x −e^−x

	1
C1'(x)=		(x+ex)
	2

e^x 0 e^x xe^x+e^2x

	1
C2'(x)=−		(xe2x+e3x)
	2

	1		1
C1(x)=		x2+		ex
	4		2

	1		1		1
C2(x)=−		xe2x+		e2x−		e3x
	4		8		6

	1		1		1		1		1
ys=(		x2+		ex)ex+(−		xe2x+		e2x−		e3x)e−x
	4		2		4		8		3

	1		1		1		1		1
ys=		x2ex+		e2x−		xex+		ex−		e2x
	4		2		4		8		6

	1		1
ys=		(2x2−2x+1)ex+		e2x
	8		3

	1		1
y(x)=C1ex+C2e−x+		(2x2−2x+1)ex+		e2x
	8		3

	1		1		2
y'(x)=C1ex−C2e−x+		(4x−2)ex+		(2x2−2x+1)ex+		e2x
	8		8		3

	1		2
y'(x)=C1ex−C2e−x+		(2x2+2x−1)ex+		e2x
	8		3

	11		1
C1+C2+		=
	24		4

	13		1
C1−C2+		=
	24		2

	5
C1+C2=−
	24

	1
C1−C2=−
	24

	1
2C1=−
	4

	1
2C2=−
	6

	1		1		1		1
y(x)=−		ex−		e−x+		(2x2−2x+1)ex+		e2x
	8		12		8		3

	1		1		1
y(x)=−		e−x+		(x2−x)ex+		e2x
	12		4		3

jc: Oj, wziąłem y'(0)=1/4. Za bardzo treść oddaliła się od edytora. A+B=−1/12 A−B=1/12 A=0, B=−1/12 czy, jak u Ciebie, Mariusz.

jc: Uciekło "li". Po prostu mamy to samo. Warto dodać, że Twoja metoda, to uzminnienie stałych.

Mariusz: Zaczął wrońskianem więc pomyślałem że można by go wykorzystać nie tylko do sprawdzenia niezależności rozwiązań ale i do uzmiennienia stałych Uzmienniając stałe musi rozwiązać dwa układy równań Jeden aby znaleźć pochodne funkcji uzmiennionych stałych (C₁'(x) C₂'(x)) a drugi aby obliczyć stałe w rozwiązaniu ogólnym W metodzie operatorowej warunki początkowe od razu wstawia do równania Tutaj trochę zabawy będzie z rozkładem na sumę ułamków prostych

jc: W metodzie operatorowej można wstawić symboliczne wartości początkowe.

k: Już sobie poradziłem z zadaniem, chętnie bym się nim tutaj podzielił ale zajęło mi 5 stron A4. Najpierw wyznaczam równanie CORJ Następnie szukam CSRN (całki szczególnej równania niejednorodnego) w postaci y_SN=C₁(x)e^x+C₂(x)e^−x y'_SN=C'₁e^x+C₁(x)e^x+C'₂(x)e^−x−C₂(x)e^−x Po przekształceniach mam układ równań C'₁(x)e^x−C'₂(x)e^−x=xe^x+e^2x C'₁(x)e^x+C'₂(x)e^−x=0 Wyznaczam wyznacznik główny, wyznacznik C₁ oraz wyznacznik C₂ Otrzymuje

	WC1		x+ex
C'1(x)=		=
	w		2

	−xe2x−e3x
C'2(x)=
	2

Całkuję powyższe i otrzymuję równanie

	1		1		1		1
ySN=(		x2+		ex)ex+(−		xe2x+		e2x−U{1}{
	4		2		4		8

6}e^3x)e^−x+C₁e²+C₂e^−x Następnie liczę pochodną y'_SN i podstawiam potem do warunków podanych w treści zadania. Wynik to:

	1
C1=−
	8

	1
C2=−
	12