zagadnienia poczatkowe Oliwia: zagadnienia poczatkowe czy ktos moze napisac mi schemat jak to robic gdyz nie mam zielonego pojecie od czego zaczacnp na tym przykladzie y'+y=e^t y(0)=0,5

Jerzy: y' + f(t)*y = e^t i f(t) = 1 y = C*e^−∫f(t)dt = C*e^−t Uzmienniamy stałą: y = C(t)*e^−t y' = C'(t)*e^−t − C(t)*e^−t Podstawiamy do równania: C'(t)*e^−t − C(t)*e^−t + C(t)*e^−t = e^t C'(t)*e^−t = e^t C'(t) = e^2t Całkujemy:

	1
C(t) =		e2t + C1
	2

Zatem:

	1		1
y(t) = (		e2t + C1)*e−t =		et + C1e−t
	2		2

Stała C₁ wyznaczamy z warunku poczatkowego:

	1
0,5 =		e0 + C1e0 ⇔ C1 = 0
	2

	1
Ostatecznie: y(t) =		et
	2