rów różniczkowe student_: Rozwiąż równania różniczkowe: xy''' −y''=x²e^x

Mariusz: Masz takie możliwości Pierwszy sposób Zamienić zmienne w równaniu jednorodnym a następnie uzmiennić stałe x³y'''−x²y''=x⁴e^x x=e^t

dx
	=et
dt

dy		dy	dt
	=
dx		dt	dx

dy		dy
	=		e−t
dx		dt

	dy		dy
x		=
	dx		dt

d		dy
	(		e−t)=
dx		dt

d		dy		dt
	(		e−t)
dt		dt		dx

	d2y		dy
(		e−t−		e−t)e−t
	dt2		dt

	d2y		dy
(		−		)e−2t
	dt2		dt

	d2y		d2y		dy
x2		=		−
	dx2		dt2		dt

d		d2y		dy
	((		−		)e−2t)=
dx		dt2		dt

d		d2y		dy		dt
	((		−		)e−2t)		=
dt		dt2		dt		dx

	d3y		d2y		d2y		dy
((		−		)e−2t−2(		−		)e−2t)e−t
	dt3		dt2		dt2		dt

	d3y		d2y		dy
(		−3		+2		)e−3t
	dt3		dt2		dt

	d3y		d3y		d2y		dy
x3		=		−3		+2
	dx3		dt3		dt2		dt

	d3y		d2y		dy		d2y		dy
x3y'''−x2y''=		−3		+2		−(		−		)
	dt3		dt2		dt		dt2		dt

	d3y		d2y		dy
x3y'''−x2y''=		−4		+3		=0
	dt3		dt2		dt

λ³−4λ²+3λ=0 λ(λ²−4λ+3)=0 λ(λ−1)(λ−3)=0 y(t)=C₁+C₂e^t+C₃e^3t y(x)=C₁+C₂x+C₂x³ C₁'(x)+xC₂'(x)+x³C₃'(x)=0 C₂'(x) + 3x²C₃'(x)=0 6xC₃'(x)=xe^x

	1
C3'(x)=		ex
	6

	1
C2'(x)=−		x2ex
	2

	1
C1'(x)=		x3ex
	3

	1
C3(x)=		ex
	6

	1
C2(x)=−		x2ex+∫xexdx
	2

	1
C2(x)=−		x2ex+xex−∫exdx
	2

	1
C2(x)=(−		x2+x−1)ex
	2

	1
C1(x)=		x3ex−∫x2exdx
	3

	1		1
C1(x)=		x3ex+2(−		x2+x−1)ex
	3		2

	1
C1(x)=(		x3−x2+2x−2)ex
	3

y_s=C₁(x)+xC₂(x)+x³C₃(x)

	1		1		1
ys=(		x3−x2+2x−2)ex+(−		x3+x2−x)ex+		x3ex
	3		2		6

y_s=(x−2)e^x y(x)=C₁+C₂x+C₂x³+(x−2)e^x Drugi sposób Obniżyć rząd równania

student_: Mariusz bardzo dziękuję

Mariusz: student_ Jeśli jesteś ciekaw tego drugiego sposobu to Niech u(x)=y''(x) xu'−u=x²e^x Rozwiązujesz równanie liniowe pierwszego rzędu a później dwa razy całkujesz Sposób ten wydaje się być krótszy