Ciąg arytmetyczny, badanie monotoniczności pheri: Zadanie: Zbadaj monotoniczność ciągu.

	1+3+5+...+(2n+1)
an=		, n∊N+
	n2+4n+4)

1+3+5+...+(2n+1) − suma n+1 kolejnych początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie a₁=1 i różnicy r=2

	a1+an		1+2n+1
1+3+5+...+(2n+1)=		*n=		*(n+1)=(n+1)2
	2		2

Zatem:

	(n+1)2
an=		, n∊N+
	(n+2)2

	(n+2)2
an+1=
	(n+3)2

Badamy znak różnicy a_n+1−a_n :

	(n+2)2		(n+1)2
an+1−an=		−		=
	(n+3)2		(n+2)2

	(n+2)4−(n+1)2(n+3)2
=		=
	(n+3)2(n+2)2

	2n2+8n+7
=		=
	(n+3)2(n+2)2

	4−√2   4+√2   2(n+ )(n+ )   2   2
=		>0
	(n+3)2(n+2)2

⋀(a_n+1−a_n>0) neN₊ ⋀(a_n+1>a_n), a to oznacza, że ciąg (a_n) jest rosnący. neN₊ Mam bardzo wielką prośbę aby ktoś sprawdził czy jest to wszystko dobrze rozwiązane, bo jak patrzę na liczby to aż przeraża i wprowadza niepewność..

jc:

	1
an = (1 −		)2
	n+2

Wyrażenie w nawiasie jest dodatnie i rośnie wraz z n, po podniesieniu do kwadratu również rośnie.

kokos: Wniosek ten sam, zatem miejmy nadzieję, ze moje rozwiazanie jest poprawne Dziękuję!

PW: Jeżeli "boisz się" tak zwyczajnego rozumowania jak jc (a zwyczajne znaczy najlepsze), to trzeba było badać iloraz sąsiednich wyrazów:

	an+1		(n+2)2		(n+2)2
		=		•		=
	an		(n+3)2		(n+1)2

	(n+2)2		n2+4n+4
= (		)2= (		)2 > 1
	(n+3)(n+1)		n2+4n+3

(ułamek ma dodatni licznik większy od dodatniego mianownika, po podniesieniu do kwadratu liczba większa od 1). Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie i dla każdej n∊N₊ jest

	an+1
		> 1,
	an

a więc ciąg jest rosnący. Rachunki wydają się łatwiejsze niż przy badaniu różnicy.