row. różniczkowe lucas: rozwiąż równanie (3x² *y² + lnx +2)dx + 2x³ *y*dy=0 jak do tej pory zrobiłem już trochę tych równań ale na te nie mam pomysłu, jak to zrobić?

jc: d(x³+y² + x + x ln x) = 0

jc: Mała usterka (jakiś + mi się napisał). d(x³y² + x + x ln x) = 0 x³y² + x + x ln x = C

lucas: ale jak to się stało?

jc: A nie jest tak? Zwykłe różniczkowanie.

lucas: no najpierw trzeba rozdzielić zmienne, nie można tak sobie po prostu zróżniczkować

jc: Znasz przecież wzór Leibniza? d(fg)=f dg + g df Poza tym nie możesz nie znać wzoru (xⁿ)' = ...

Mariusz: (3x² *y² + lnx +2)dx + 2x³ *y*dy=0

	dy
3x2 *y2 + lnx +2+2x3 *y		=0
	dx

Jest to równanie Bernoulliego u=y²

du		dy
	=2y
dx		dx

Po podstawieniu otrzymujemy równanie liniowe pierwszego rzędu

	du
x3		+3x2u+lnx+2=0
	dx

Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne

	du
x3		+3x2u=0
	dx

du		3
	=−		u
dx		x

du		3
	=−		dx
u		x

ln|u|=−3ln|x|+ln|C|

	C
u=
	x3

	1
u(x)=C(x)
	x3

a następnie uzmienniamy stałą

	du
x3		+3x2u+lnx+2=0
	dx

	1	dC		1		1
x3(			−3		C(x))+3C(x)		=−lnx−2
	x3	dx		x4		x

dC		C(x)		1
	−3		+3C(x)		=−lnx−2
dx		x		x

dC
	=−lnx−2
dx

	1
C(x)=−xlnx−∫(−x		dx)−2x+C1
	x

C(x)=−xlnx−x+C₁

	1
u(x)=(−xlnx−x+C1)
	x3

	−xlnx−x+C1
u(x)=
	x3

	−xlnx−x+C1
y2(x)=
	x3

Mariusz: lucas Jeśli chodzi o rozwiązanie jc Pamiętasz jak jest definiowana różniczka zupełna

	δF		δF
dF=		dx+		dy
	δx		δy

Pamiętasz także twierdzenie Schwarza o pochodnych mieszanych

δF		δF
	=
δxδy		δyδx

przy założeniu że pochodne mieszane istnieją i są ciągłe Twoje równanie jest postaci M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 Niech

δF
	=M(x,y)
δx

oraz

δF
	=N(x,y)
δy

Z twierdzenia Schwarza dostajesz warunek na to aby równanie było zupełne

δM		δN
	=
δy		δx

Jeżeli ten warunek jest spełniony to rozwiązujesz następujący układ równań

δF
	=M(x,y)
δx

δF
	=N(x,y)
δy

Rozwiązaniem ogólnym równania w postaci uwikłanej będzie wtedy F(x,y)=C Miałeś coś takiego na zajęciach ?

lucas: niestety nie miałem takiego czegoś na zajęciach ale na wykładzie było równanie Bernoulliego i tak to też zrobiłem. Na ćwikach nie mieliśmy takiego przykładu. Dzięki W takim razie nauczę się też tej drugiej metody, wiedzy nigdy nie za dużo, szczególnie z matmy

Mariusz: lucas:

	δM		δN
Co robić gdy		≠		?
	δy		δx

Można pomnożyć równanie przez taki czynnik aby powyższa równość była spełniona Załóżmy że czynnik całkujący jest funkcją złożoną μ=μ(ω(x,y))

δμM		δμN
	=
δy		δx

δμ		δM		δμ		δN
	M+μ		=		N+μ
δy		δy		δx		δx

δμ		δμ		δN		δM
	M−		N=μ		−μ
δy		δx		δx		δy

δμ		δμ		δN		δM
	M−		N=μ(		−		)
δy		δx		δx		δy

δμ	δω		δμ	δω		δN		δM
		M−			N=μ(		−		)
δω	δy		δω	δx		δx		δy

δμ		δω		δω		δN		δM
	(		M−		N)=μ(		−		)
δω		δy		δx		δx		δy

δμ		δN   δM   − δx   δy
	=μ
δω		δω   δω   M− N δy   δx

δμ		δN   δM   − δx   δy
	=		δω
μ		δω   δω   M− N δy   δx

dμ		δN   δM   − δx   δy
	=		dω
μ		δω   δω   M− N δy   δx

	δN   δM   − δx   δy
Zatem
	δω   δω   M− N δy   δx

musi być funkcją zależną od ω(x,y) Niech

	δN   δM   − δx   δy
f(ω)=
	δω   δω   M− N δy   δx

Mamy wtedy

dμ
	=f(ω)dω
μ

Wkrótce powinieneś mieć to na zajęciach

lucas: no pewnie będzie to w kolejnym semestrze więc nie tak prędko ale nic nie szkodzi już teraz się tego nauczyć

Jerzy: @lucas... wygoogluj „ rownanie różniczkowe zupełne” i znajdziesz bardzo prostą metodę jego rozwiązywania.

Mariusz: We wpisie z 13 cze 2019 13:08 ma równanie różniczkowe zupełne We wpisie z 14 cze 2019 10:06 ma czynnik całkujący