równanie rozniczkowe lucas: rozwiąż równanie y'+3y*tgx = 2 *sinx próbowałem rozdzielić zmienne ale to nie podziała no chyba, że coś przegapiłem, jak to zrobić?

jc:

	y
(		)'=(tg2x)'
	cos3x

y/cos³x = tg²x + C y= sin²x cos x + C cos³x Ale lepiej sprawdź!

lucas: dobra ale jak zrobiłeś to przekształcenie?

jc: Wykonaj różniczkowanie i zobaczysz. Podstawowe wzory.

lucas: tylko, że pierwszy raz takie coś widzę, najpierw trzeba rozdzielić zmienne. Faktycznie jak się zróżniczkuje takie coś wyjdzie ale tak nie można tak zrobić

jc: A jak myślisz, jak wymyśla się takie zadania? h(x) [f(x)y + g(x)]' = 0 A teraz zgaduj, co było na początku. Jest na to przepis, rachunki takie same jak przy rozdzielaniu zmiennych, ale jak widać, to po co liczyć?

Mariusz: y'+3y*tgx = 2 *sinx To jest równanie liniowe pierwszego rzędu Niech y=uv y'=u'v+uv' u'v+uv'+3uvtgx=2sinx u'v+(v'+3vtgx)u=2sinx v'+3vtgx=0 v'=−3vtgx

dv		−3sinx
	=
v		cosx

ln|v|=3ln|cosx| v=cos³x u'cos³x=2sinx

	2sinx
u'=
	cos3x

	1
u=		+C
	cos2x

y=uv

	1
y=(		+C)cos3x
	cos2x

y=cosx+C₁cos³x Równanie Bernoulliego rozwiązujesz w podobny sposób

jc: To samo, tylko trochę inaczej zapisane. y= sin²x cos x + C cos³x=(1−cos²x)cos x + C cos³x = cos x + (C−1)cos³x Mariusz, oczywiście Twoja forma wyniku ładniej wygląda.

Mariusz: On zarówno w tym równaniu jak i w tym drugim wspominał coś o rozdzielaniu zmiennych więc mogą to być dopiero początki równań różniczkowych i nie wiadomo czy już miał wprowadzone równania zupełne i czynnik całkujący Wobec powyższego w przypadku równań liniowych i Bernoulliego powinien założyć że rozwiązanie jest w postaci iloczynu dwóch funkcji zależnych od tej samej zmiennej (tutaj od x) a następnie wstawić do równania i tak je pogrupować aby możliwe było rozdzielenie zmiennych (w przypadku tych równań dwukrotne)

jc: Mariusz, w przypadku równań o zmiennych rozdzielonych znalezienie czynnika całkującego wymaga takich samych rachunków, jak rozdzielanie zmiennych. Zresztą, wiesz o tym lepiej ode mnie. Co zyskujemy? Nie trzeba uzasadniać rozwiązania.

Mariusz: Chodzi bardziej o dydaktykę Trzeba najpierw pewne rzeczy wprowadzić aby móc z nich korzystać W przypadku tych równań można założyć że rozwiązanie jest iloczynem dwóch funkcji zależnych od tej samej zmiennej albo pokazać że postać równania przypomina wzór na pochodną iloczynu co zresztą zrobiłeś po kilku wpisach Czynnik całkujący może i wymaga mniej rachunków ale nie uogólnia się tak jak uzmiennienie stałej Jeżeli w jakiś sposób znajdziemy dwa czynniki całkujące aby znaleźć rozwiązanie równania nie musimy tego równania całkować

Jerzy: @lucas , rób „po bożemu” i zacznjj od rozwiązania równania : y’ + 3tgxy = 0 ( rozdziel zmienne ), a potem będziesz uzmienniać stałą.

lucas: już do tego doszedłem, przyrównałem do zera i potem już z górki