Hej, mam problem z tym równaniem Karol: Rozwiąż równanie: z⁴ −(1+√3i)³ =0 w dziedzinie zespolonej i przedstaw rozwiązania w postaci algebraicznej.

wredulus_pospolitus: (1+√3i)³ = 1 + 3√3i −9 −3√3i = −8 więc masz de facto do rozwiązania: z⁴ + 8 = 0

wredulus_pospolitus: z tym już sobie poradzisz

Mila: (1+√3 i)³=1+3√3i+3*(√3i)²+(√3i)³= =1+3√3i−9+3√3*(−1)*i=−8 z⁴+8=0 Teraz poradzisz sobie?

Karol: Czyli po prostu za z postawiam teraz x+iy?

wredulus_pospolitus: możesz ... ale to trochę zabawy z tym jest (w końcu podnosisz do ⁴) możesz też policzyć pierwiastki ze wzoru zⁿ = x + iy −> z = ....

wredulus_pospolitus: a możesz też trochę sobie ułatwić życzę i: 1) zauważyć, że pierwiastki zawsze są sprzężone 2) policzyć najpierw z_*² + 8 = 0 i później mając te dwa pierwiastki ... wyliczyć pierwiastki z tychże pierwiastków

Karol: Wzór Moivre'a załatwi sprawę?

wredulus_pospolitus: No raczej nie, w końcu wzór Moivre'a służy do potegowania liczb zespolonych, a nie ich pierwiastkowania chyba że chodzi Ci o wyliczenie z⁴, ale to nadal drogą trochę naokoło Spójrz: https://www.matemaks.pl/pierwiastkowanie-liczb-zespolonych.html

Mila: z⁴=−8 |−8|=8 φ=π

	π+2π		π+2π
zk=4√8*(cos		+i sin		) , k=0,1,2,3
	4		4

	π		π		√2		√2
z0=4√8*(cos(		+i sin		)=4√8*(		+		i)=
	4		4		2		2

	4√8*√2
=		*(1+i)=4√2*(1+i) [√2=4√4 ]
	2

	3π		3π
z1=4√2*(cos(		+i sin		)=4√2*(−1+i)
	4		4

	5π		5π
z2=4√2*(cos(		+i sin		)=4√2*(−1−i)
	4		4

	7π		7π
z3=4√2*(cos(		+i sin		)=4√2*(1−i)
	4		4

=================== posprawdzaj rachunki