Metoda przewidywań Student: Jakie będzie przewidywanie i dlaczego dla y'' − 4y' + 4y = sin(2x) + e^2x ? Równanie ogólne y_o(x)=C₁e^2x + C₂xe^2x

Mariusz: Korzystasz z superpozycji i dla sin(2x) przewidujesz Acos(2x)+Bsin(2x) a dla e^2x przewidujesz Cx²e^2x więc całka szczególna jest sumą przewidywań y_s=Acos(2x)+Bsin(2x)+Cx²e^2x

Mariusz: y''−4y'+4y=0 y'=u(y) y''=u'(y)y' y''=u'(y)u u'u−4u+4y=0 u'u=4u−4y

	y
u'=4−4
	u

u=zy u'=z'y+z

	4
z'y+z=4−
	z

	4
z'y=4−z−
	z

	−z2+4z−4
z'y=
	z

	z		dy
−		dz=
	(z−2)2		y

z		1
	−∫		=ln|y|+C1
z−2		z−2

zy
	−ln|z−2|=ln|y|+C1
zy−2y

zy
	−ln|zy−2y|=C1
zy−2y

u
	−ln|u−2y|=C1
u−2y

i teraz gdybyś chciał wyznaczyć jawną postać u musiałbyś skorzystać z funkcji nieelementarnej Korzystając z metod algebraicznych otrzymujesz y''=4y'−4y y'=z z'=4z−4y y'=z Macierz układu równań różniczkowych to 4 −4 1 0 i liczysz y=Aⁿy₀

Mariusz: y=Aⁿy₀ liczysz rozwiązując równania rekurencyjne W równaniach różniczkowych liczysz y=e^Axy₀