Całka Magda: Nie mam pojecia jak policzyc te calke, zawsze cos zostaje przy podstawieniu

	√x2+16
f		dx
	x4

Mariusz:

	√x2+16
∫		dx=
	x4

√x²+16=t−x x²+16=t²−2tx+x² 16=t²−2tx 2tx=t²−16

	t2−16
x=
	2t

	2t*2t−2(t2−16)
dx=		dt
	4t2

	t2+16
dx=		dt
	2t2

	t2+16
t−x=
	2t

	t2+16	16t4	t2+16
∫				dt
	2t	(t2−16)4	2t2

	4t(t2+16)2
∫		dt
	(t2−16)4

u=t²−16 du=2tdt

	2(u+32)2
∫		du
	u4

	2u2+128u+2048
∫		du
	u4

	2		128		2048
∫		du+∫		du+∫		du
	u2		u3		u4

	2		64		2048
=−		−		−
	u		u2		3u3

	2		64		2048	1
=−		−		−			+C
	t2−16		(t2−16)2		3	(t2−16)3

	2		64
=−		−
	(x+√x2+16)2−16		((x+√x2+16)2−16)2

	2048	1
−			+C
	3	((x+√x2+16)2−16)3

Powyższy wynik można jeszcze uprościć

jc: x=4 sh t

	√x2+16		1		ch2 t
∫		dx =		∫		dt
	x4		128		sh4 t

	1		dt		1
=		∫cth2t		=		cth3t
	128		sh2t		3*128

	√x2+16
cth t =
	4x

Mariusz: Drugie podstawienie wymaga nieco mniej obliczeń

	√x2+16
∫		dx
	x4

√x²+16=xt+4 x²+16=x²t²+8xt+16 x²=x²t²+8xt x=xt²+8t x(1−t²)=8t

	8t
x=
	1−t2

	8(1−t2)−(−2t)8t
dx=		dt
	(1−t2)2

	8t2+8
dx=		dt
	(1−t2)2

	4t2+4
xt+4=
	1−t2

	4t2+4	(1−t2)4	8t2+8
∫				dt
	1−t2	4096t4	(1−t2)2

1		(t2+1)2(1−t2)
	∫		dt
128		t4

1		(1−t4)(1+t2)
	∫		dt
128		t4

1		1+t2−t4−t6
	∫		dt
128		t4

	1		dt		dt
=		(∫		+∫		−∫dt−∫t2dt)
	128		t4		t2

	1		1		1		t3
=		(−		−		−t−		)+C
	128		3t3		t		3

jc: Oj, zamiast 128 powinno stać 64.

jc:

	1		(x2+16)3/2
Wynik =
	3*4096		x3

Mariusz: Można też przez części liczyć

	√x2+16		1	√x2+16		1		1	x
∫		dx=−			+		∫			dx
	x4		3	x3		3		x3	√x2+16

	√x2+16		1	√x2+16		1		1
∫		dx=−			+		∫		dx
	x4		3	x3		3		x2√x2+16

	√x2+16		1	√x2+16		1		16+x2−x2
∫		dx=−			+		∫		dx
	x4		3	x3		48		x2√x2+16

	√x2+16		1	√x2+16		1		√x2+16
∫		dx=−			+		∫		dx
	x4		3	x3		48		x2

	1		1
−		∫		dx
	48		√x2+16

	√x2+16		1	√x2+16		1		√x2+16		dx
∫		dx=−			+		(−		+∫		)
	x4		3	x3		48		x		√x2+16

	1		1
−		∫		dx
	48		√x2+16

	√x2+16		1	√x2+16		1	√x2+16
∫		dx=−			−			+C
	x4		3	x3		48	x

Mariusz: jc nadal masz źle policzony współczynnik

jc: Spróbuję jeszcze raz staranniej.

	ch t		√x2+16
x=4 sh t, (cth t)' = 1/sh2t, cth t =		=
	sh t		x

	√sh2t + 16		1		ch2t
całka = ∫		4cht dt =		∫		dt
	44 sh4t		16		sh4t

	1		1		(x2+16)3/2
=		*		cth3t =
	16		3		48 x3

Teraz już jest dobrze. Cóż, czasami też się mylę

jc: Mariusz, już poprawiłem. Wydaje mi się, że w tym zadaniu funkcje hiperboliczne same prowadzą do wyniku.

Mariusz: Nie zgubiłeś czasami minusa ? Spójrz na mój wynik z całkowania przez części Tam masz wynik uproszczony Pierwsze podstawienie Eulera wymagało dodatkowego podstawienia aby ominąć rozkład na sumę ułamków prostych Po drugim podstawieniu Eulera wystarczyło skorzystać z liniowości i dostaliśmy całkę z potęgi

jc: Podstawmy najpierw y=4x, aby nie mylić się w rachunkach.

	1		√1+y2
całka =		∫		dy.
	16		y4

Teraz dla odmiany y=tg t.

	1		cos t		1	1
całka =		∫		dt = −
	16		sin4		48	sin3t

Tylko co z tym minusem? Znów coś mylę

jc:

	1
Może zgubiłem, pewnie (cth t)' = −		.
	sh2t

jc: Mariusz, a jednak będę zachęcał do używania funkcji hiperbolicznych. Po prostu funkcje hiperboliczne same prowadzą do wyniku.

jc: Przy okazji, matematycy nie mówią studentom o funkcjach hiperbolicznych, może nawet czują jakąś niechęć do tych funkcji. Studenci przejmują niechęć nauczycieli i nie chcą rozwiązywać nawet łatwych zadań z funkcjami hiperbolicznymi.