Matematyka dyskretna Magda: Wyznacz rozwiązanie równania rekurencyjnego: a_n=a_n−1 +6_an−2 −2n+3 Nie wiem jak to zrobić proszę o pomoc. Mam lambdę 3 i −2 więc an=3c1−2c2 Czyli do niejednorodnych będzie an=An+B Ale nie wiem jak to liczyć dalej. Mógłby ktoś policzyć ?

wredulus_pospolitus: a₁ = a₂ =

Mila: Brak warunków początkowych.

jc: Mila, można przecież zapisać rozwiązanie ogólne.

Magda: Właśnie brak warunków i nie wiem jak to zrobić:(

jc: a_n=K3ⁿ + L(−2)ⁿ + An+B. A, B znajdź sama, K, L to dowolne stałe.

Magda: Jc dzięki

Mariusz: Można także rozwiązywać jak równanie różniczkowe Część jednorodną przekształcasz w układ równań i rozwiązujesz metodami algebraicznymi a rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego znajdujesz uzmienniając stałe Funkcja tworząca też będzie wygodna w użyciu a dodatkowo pozwala rozwiązać więcej równań A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=2^∞a_nxⁿ=∑_n=2^∞a_n−1xⁿ+∑_n=2^∞6a_n−2xⁿ +∑_n=2(−2n+3)xⁿ ∑_n=2^∞a_nxⁿ=x(∑_n=2^∞a_n−1xⁿ⁻¹)+6x²(∑_n=2^∞a_n−2xⁿ⁻²) −(∑_n=2(2n−3)xⁿ) ∑_n=2^∞a_nxⁿ=x(∑_n=1^∞a_nxⁿ)+6x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ) −(∑_n=2(2n−3)xⁿ) ∑_n=0^∞a_nxⁿ−a₀−a₁x=x(∑_n=0^∞a_nxⁿ−a₀)+6x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ) −(∑_n=0(2n−3)xⁿ−(−3)−(−1)x) ∑_n=0^∞a_nxⁿ−a₀−a₁x=x(∑_n=0^∞a_nxⁿ−a₀)+6x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ) −(∑_n=0(2(n+1)−5)xⁿ)−3−x

	1
∑n=0∞xn=
	1−x

d		d		1
	(∑n=0∞xn)=		(		)
dx		dx		1−x

	−1
∑n=0∞nxn−1=		(−1)
	(1−x)2

	1
∑n=1∞nxn−1=
	(1−x)2

	1
∑n=0∞(n+1)xn=
	(1−x)2

∑_n=0^∞a_nxⁿ−a₀−a₁x=x(∑_n=0^∞a_nxⁿ−a₀)+6x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ)

	2		5
−(		−		)−3−x
	(1−x)2		1−x

	2		5
A(x)−a0−a1x=x(A(x)−a0)+6x2A(x)−		−		−3−x
	(1−x)2		1−x

	2		5
A(x)(1−x−6x2)=a0+a1x−a0x−		+		−3−x
	(1−x)2		1−x

	2		5
A(x)(1−x−6x2)=(a0−3)+(a1−a0−1)x−		+
	(1−x)2		1−x

	5(1−x)−2
A(x)(1−x−6x2)=(a0−3)+(a1−a0−1)x+
	(1−x)2

	(a0−3)+(a1−a0−1)x		−5x+3
A(x)=		+
	1−x−6x2		(1−x)2(1−x−6x2)

	(a0−3)+(a1−a0−1)x		−5x+3
A(x)=		+
	(1−3x)(1+2x)		(1−x)2(1−3x)(1+2x)

A		B		(a0−3)+(a1−a0−1)x
	+		=
1−3x		1+2x		(1−3x)(1+2x)

A(1+2x)+B(1−3x)=(a₀−3)+(a₁−a₀−1)x A+B=a₀−3 2A−3B=a₁−a₀−1 3A+3B=3a₀−9 2A−3B=a₁−a₀−1 5A=a₁+2a₀−10 2A+2B=2a₀−6 2A−3B=a₁−a₀−1 5B=3a₀−a₁−5

−5x+3		B		C		D
	={A}{1−x}+		+		+
(1−x)2(1−3x)(1+2x)		(1−x)2		1−3x		1+2x

A(1−x)(1−3x)(1+2x)+B(1−3x)(1+2x)+C(1−x)²(1+2x)+D(1−x)²(1−3x)=−5x+3 A(1−x)(1−x−6x²)+B(1−x−6x²)+C(1−2x+x²)(1+2x)+D(1−2x+x²)(1−3x)=−5x+3 A(1−2x−5x²+6x³)+B(1−x−6x²)+C(1−3x²+2x³)+D(1−5x+7x²−3x³)=−5x+3 A+B+C+D=3 −2A−B−5D=−5 −5A−6B−3C+7D=0 6A+2C−3D=0 A+B+C+D=3 B+2C−3D=1 −B+2C+12D=15 −6B−4C−9D=−18 A+B+C+D=3 B+2C−3D=1 4C+9D=16 8C−27D=−12 A+B+C+D=3 B+2C−3D=1 4C+9D=16 −45D=−44

	44
D=
	45

	81
C=
	45

	15
B=
	45

	5
A=−
	45

−5x+3		5		1		15	1
	=−				+			+
(1−x)2(1−3x)(1+2x)		45		1−x		45	(1−x)2

81	1		44	1
		+
45	1−3x		45	1+2x

	1		1		1		1
A(x)=		(a1+2a0−1)		+		(27a0−9a1−1)
	5		1−3x		45		1+2x

	1	1		1	1
−			+
	9	1−x		3	(1−x)2

	1		1
an=		(a1+2a0−1) 3n+		(27a0−9a1−1) (−2)n
	5		45

	1		1
−		+		(n+1)
	9		3

	1		1		1
an=		(a1+2a0−1) 3n+		(27a0−9a1−1) (−2)n+		(3n+2)
	5		45		9

Mariusz: a_n=a_n−1 +6a_n−2 −2n+3 a_n+2=a_n+1 +6a_n −2(n+2)+3 a_n+2=a_n+1 +6a_n−2n−1 a_n+2=a_n+1 +6a_n Niech b_n=a_n+1 a_n+1=b_n b_n+1=b_n+6a_n A= 0 1 6 1 Aⁿ[a₀ a₁]^T −λ(1−λ)−6=0 λ²−λ−6=0 (λ−3)(λ+2)=0 −3v₁+v₂=0 6v₁−2v₂=0 v₂=3v₁ v₁[1 3]^T 2v₁+v₂=0 6v₁+3v₂=0 v₂=−2v₁ v₂[1,−2]^T P= 1 1 3 −2 D= 3 0 0 −2 1 1 1 0 3 −2 0 1 1 1 1 0 0 −5 −3 1 5 5 5 0 0 −5 −3 1 5 0 2 1 0 5 3 −1 P⁻¹=

2		1
5		5

3		−1
5		5

Aⁿ=PDⁿP⁻¹

2		3		1		1
	3n+		(−2)n		3n−		(−2)n
5		5		5		5

6		6		3		2
	3n−		(−2)n		3n+		(−2)n
5		5		5		5

	2		3		3		2
(		3n+		(−2)n)(		3n+		(−2)n)−
	5		5		5		5

	1		1		6		6
(		3n−		(−2)n)(		3n−		(−2)n)=3n(−2)n
	5		5		5		5

	3		2		1		1
0(		3n+		(−2)n)−(		3n−		(−2)n)(−2n−1)=U{1}{5
	5		5		5		5

}(2n+1)(3ⁿ−(−2)ⁿ)

	2		3		6		6
(		3n+		(−2)n)(−2n−1)−0((		3n−		(−2)n))=
	5		5		5		5

	1
−		(2n+1)(2*3n+3*(−2)n)
	5

Niech

	1		−1		1
Δcn=		(2n+1)((		)n−(		)n)
	5		2		3

	1		−1		1
Δdn=−		(2n+1)(2*(		)n+3(		)n)
	5		2		3

c_n=∑_j=0ⁿ⁻¹ Δc_n +c₀ d_n=∑_j=0ⁿ⁻¹ Δd_n +d₀

	2		3		1		1
an=cn(		3n−		(−2)n)+dn(		3n+		(−2)n)
	15		10		15		10

Aby znaleźć rozwiązanie szczególne trzeba będzie obliczyć te sumy przez części