Sprawdź czy ciąg jest zbieżny oraz czy posiada/nie posiada podciągu zbieżnego Marcin: Sprawdź czy ciąg jest zbieżny oraz czy posiada/nie posiada podciągu zbieżnego

	nπ
an = sin		dla n∊N
	2

Adamm: |a_n|≤1 ⇒ posiada podciąg zbieżny (zwartość)

Adamm: ciąg ten jest okresowy bo a_n+4 = a_n na to by ciąg okresowy był zbieżny, potrzeba i wystarcza, żeby był on stały ten ciąg nie jest stały, bo sin(π/2) = 1 ≠ sin(π) = 0

wredulus_pospolitus: wystarczy pokazać dwa podciągi tego ciągu które są zbieżne do różnych granic

wredulus_pospolitus: Nie spełnienie Tw. Heinego implukuje, że ciąg a_n nie jest zbieżny

Marcin:

	nπ
No dobra czyli |sin		| ≤ ε i teraz dalej jak to rozpisać
	2

wredulus_pospolitus: b_k = sin (2kπ)

	π
ck = sin (2kπ +		)
	2

podciągi zbieżne do różnych granic nie śpij na wykładach

Marcin:

	nπ
Chodziło mi bardziej jak rozpisać ten sin		≤ ε, żeby udowodnić zbieżność tego ciągu
	2

wredulus_pospolitus: TEN CIĄG NIE JEST ZBIEŻNY Czytaj ze zrozumieniem

Marcin: Dobrze ale jak mogę to udowodnić, jak rozpisać bo sam zapis nic nie mówi ...

Bleee: Jeszcze raz: tw. Heinego a raczej wykazujesz że nie spełnione jest to twierdzenie

Marcin:

	nπ
No dobra ale samo sin		tego nie pokazuje chyba muszę to jakoś rozpisać ?
	2

Adamm: Załóżmy że ciąg a_n jest od pewnego miejsca okresowy, t. j. istnieje T naturalne dodatnie i n₀, że dla każdego n>n₀, a_n = a_n+T Możemy założyć że T jest tutaj najmniejsze takie. Gdyby T≥2, to |a_n+1−a_n| ≥ ≥ max{|a_n0+1−a_n0|, |a_n0+2−a_n0+1|, ..., |a_n0+T−a_n0+T−1|} t. j. ciąg a_n nie byłby ciągiem Cauchy'ego sprzeczność dowodzi że musi być T = 1

Adamm: dla n>n₀ !

Adamm: przepraszam, minimum zamiast maksimum

Bleee: Masz dwie mozluwosci 1) korzystasz z tw. Heinego i zapisujesz dwa pid ciągi zbieżne do ROZNYCH granic (przykładowe dwa podciagi podane zostały o 18.10) 2) korzystasz z tw. Cauchiego i wykazujesz że dla dowolnej granicy g jeżeli ε < 1/2 to niespełnione jest to twierdzenie dla nieskończonej liczby wyrazów ciągu a_n