liczenie pochodnej funkcji dla argumentu x swiezak: Czy możliwe jest liczenie pochodnej funkcji dla argumentu x? Jeśli tak do czego to służy? Z góry dzięki za odpowiedzi.

wredulus_pospolitus: wybacz, ale nie bardzo rozumiem pytanie

swiezak: mam np. funkcję f = 2x + 3 to czy możliwe jest policzenie pochodnej funkcji np. dla argumentu x = 3? Czy na tym polega liczenie pochodnych?

swiezak: f'(3) − czy możliwe jest coś takiego?

Satan: A czym jest pochodna? A to, co napisałeś, to wartość pochodnej funkcji f w argumencie x = 3.

swiezak: Ok, czyli mogę to w taki sposób liczyć. Czyli np. na podstawie wartości pochodnej funkcji f w różnych argumentach mogę zobaczyć dla jakich argumentówi funkcja przyjmuje najmniejsze wartości?

piotr: Wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x₀ jest równa współczynnikowi kierunkowemu prostej stycznej do wykresu funkcji f(x) w punkcie x₀. równanie stycznej: y − f(x₀) = f'(x₀)(x −x₀) f(x₀) − wartość funkcji w punkcie x₀ f'(x₀) − wartość pochodnej funkcji w punkcie x₀

wredulus_pospolitus: "Czyli np. na podstawie wartości pochodnej funkcji f w różnych argumentach mogę zobaczyć dla jakich argumentówi funkcja przyjmuje najmniejsze wartości?" BZDUUUUURA Posiadanie wiedzy na temat wartości pochodnej w paru punktach NIC Ci nie daje w momencie w którym chcesz sprawdzić czy (przykładowo) f(0) > f(3) Wartość pochodnej w punkcie także jednoznacznie nie pokazuje czy na pewno w danym punkcie funkcja przyjmuje najmniejszą/największą wartość.

wredulus_pospolitus: Najlepiej by było jakbyś podał W CAŁOŚCI problem jaki masz do rozwiązania to podpowiemy w jaki sposób do tego podejść.

wredulus_pospolitus: PS. Przy okazji ... zobacz na swój przykład (z 00:32): f(x) = 2x + 3 f'(x) = 2 f'(3) = 2 ; f'(−10) = 2 jak na podstawie tych dwóch wartości możesz określić dla którego z tych punktów (x=3 czy x=−10) funkcja przyjmuje mniejszą wartość? Bądź ... dla jakiego 'x' funkcja f(x) przyjmuje najmniejszą wartość?

swiezak: Chodzi mi o znalezienie argumentów dla których funkcja przyjmować będzie jak najmniejsze wartości. Możliwe, że to nazywa się gradient funkcji. Jak coś nie jasne to będę próbować wytłumaczyć.

swiezak: Wiem, że na podstawie pochodnej cząstkowej funkcji można wyznaczyć minium funkcji. Tylko nie za bardzo rozumiem jak to działa. Byłbyś ws tanie wytłumaczyć?

tryt: Jeżeli wielomian jest parzystego stopnia, to można pochodną obliczyć minimum bądź maksimum globalne takiej funkcji. A można zrobić to tak, że wyznaczasz np w przypadku, gdy chcemy poznać minimalną wartość funkcji, wszystkie minima lokalne funkcji właśnie pochodną (potrafisz?) i obliczyć wartości wszystkich tych minimów lokalnych. Jeśli współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu (parzystego stopnia) jest >0 to minimum lokalne o najmniejszej wartości będzie minimum globalnym funkcji Analogicznie, jeśli współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu jest <0 to maksimum lokalne o najwyższej wartości będzie największą wartością jaką przyjmuje funkcja w całej swej dziedzinie.

tryt: A ekstremum lokalne (czyli własnie minimum bądź maksimum) funkcji występuje wtedy, gdy f'(x)=0 No, dochodzi jeszcze do tego warunek konieczny i krytyczny istnienia ekstremum, ale w zasadzie to wychodzi na to samo.

Adamm: gradient odpowiada za pochodną kierunkową

Adamm: Jeśli funkcja jest określona w otoczeniu punktu x, i ma tam ekstremum, to f'(x) = 0 w przypadku funkcji jednej zmiennej i grad. f = 0 w przypadku funkcji wielu zmiennych

Adamm: I jest w tym otoczeniu różniczkowalna

Adamm: np. f0, 1]→[0, 1] zdefiniowana wzorem f(x) = x jest różniczkowalna, i f'(x) = 1 dla każdego x∊[0, 1] (przy czym dla x = 0, 1 rozumie się tu pochodne jednostronne) czy to oznacza że nie ma ona ekstremum? Oczywiście że nie. Często zapomina się o tym że f'(x) = 0 nie zawsze zachodzi.

Bleee: Swiezak − − − Zauważ że piszesz o najmniejszej/największej wartości funkcji, a nie o minimum/maksimum LOKALNYM i dodatkowo mówisz o wartościach pochodnej w danych (konkretnych) punktach, a nie o sprawdzaniu wartości pochodnej dla całej jej dziedziny. Globalnego minimum/maksimum NIE MOZNA wprost z pochodnej wyznaczyć (dla dowolnej funkcji) bez sprawdzania paru innych rzeczy, podczas gdy lokalne ekstrem już można wyznaczyć.

swiezak: Czym się różni lokalne ekstremum od globalnego?

Bleee: Tym że Lokalne oznacza że wartość funkcji jest tutaj najmniejsza w 'pewnym' (bliżej nieokreślonym) otoczeniu tegoż punktu. Globalne oznacza że tutaj funckaj przyjmuje najmniejsza wartość W OGOLE w całej swojej dziedzinie.

Bleee: Bardzo często w minimum lokalnym masz większą wartość niż w (innym punkcie) maksimum lokalnym tejże funkcji

tryt: @Bleee z tym że − wez pod uwage to co pisalem − jak wielomian jest stopnia parzystego to możesz obliczyć wszystkie minima/maksima lokalne wielomianu, a wśród nich będzie się kryło minimum/maksimum globalne

tryt: i poza tym, to otoczenie nie jest wcale takie nieokreślone. w końcu chodzi tutaj o to, że znak przy wartości pochodnej opisuje monotoniczność funkcji. f'(x)<0 ⇔f(x) maleje f'(x)>0 ⇔f(x) rośnie a zatem f(x) przestaje maleć lub przestaje rosnąć gdy f'(x)=0

Jerzy: Funkcja może też mieć maksyma lokalne.

wredulus_pospolitus: tryt −−− i tak i nie Nie dla każdego wielomianu parzystego stopnia każde minimum (bądź każde maksimum) lokalne będzie także minimum (maksimum) globalnym. Prawdą jest, że chociaż jedno minimum (bądź maksimum) lokalne będzie także globalnym. Jednak ja pisałem o ogólnym podejściu do sprawy i dlatego napisałem, że z samej tylko pochodnej nie jesteś w stanie wykazać czy minimum/maksimum lokalne będzie także globalnym (nawet gdy ograniczymy się do wielomianów parzystego stopnia − to że będzie to wiemy, ale nie wiemy które z nich będzie globalnym). A pisząc o 'bliżej nieokreślonym' otoczeniu miałem na myśli to, że nie jest on 'sztywno' określony (i spełniony dla każdej funkcji −−− np. w otoczeniu (x−1 ; x+1) funkcja przyjmuje wartości większe od f(x)