Całki podwójne Jan: Witam. Rozwiązuje zadania z całek podwójnych (wyznaczanie pola powierzchni na płaszczyźnie). Mam problem z takim zadankiem: ∫∫ ^y_x dxdy D: y = ¹_x , y= ³_x, y = 2x, y = 4x Narysowałem to sobie na płaszczyźnie: http://prntscr.com/nww6ik I teraz mam problem jak to całkować Na piechotę będzie to bardzo dużo liczenia. Na zajęciach podchodziliśmy do tego typu problemu zamieniając zmienne (aczkolwiek nie rozumiem tej metody). Dodam, że wyznaczyłem punkty przecięcia funkcji: ¹_x = 2x ==> x= +/− √¹₂ ³_x = 2x ==> x= +/− √³₂ 4x = ¹_x ==> x = +/− √¹₄ 4x = ³_x ==> x = +/− √³₄ Z góry dziękuję za wszystkie wskazówki

jc: Rysunek sugeruje taki opis obszaru, ale to powinno być w treści zadania: 1 ≤ xy ≤ 3 0 ≤ x ≤ y ≤ 2x lub 2x ≤ y ≤ x ≤ 0

jc: s=y/x t=xy x=√t/s y=√st

	1
|Jakobian| =		sprawdź!
	2s

1 ≤ s ≤ 2 1 ≤t ≤ 3

	ds
całka = ∫12 ds ∫13 s		= 1
	2s

jc: Pomnóż wynik przez 2 (to był tylko jeden z dwóch obszarów).

Jan: Wynik się zgadza więc pewnie całość jest dobrze. Nie rozumiem niestety skąd wyznaczone s oraz t. A potem x oraz y

jc: Czy miałeś zamianę zmiennych w całce wielokrotnej?

Jan: Nie wiem czy o to chodzi ale miałem zapisany wzór : ∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫f(φ(u,v), ξ(u,v)) |J| dudv Ale nie umiem go wykorzystać

jc: Tak. x=φ(u,v) y=ξ(u,v) Funkcje φ, ξ dobrałem tak, aby obszar był obrazem prostokąta. x=√u/v y=√uv Mamy xy=u, y/x=v, a wiemy, że 1≤xy≤3, 1≤y/x≤2, czyli interesujący jest obrazem prostokąta: 1≤u≤3, 1≤v≤3. Zastosuj zacytowany przez siebie wzór. (dla uproszczenia rozważam tylko obszar w pierwszej ćwiartce, potem wynik wystarczy pomnożyć przez 2).

Jan: Hmm a czy mógłbyś jeszcze przybliżyć mi przedziały 1≤xy≤3, 1≤y/x≤2 . Bo odczytałeś je z wykresu ale niezbyt je widzę

jc: Z wykresy odczytałem obszary, sam przecież narysowałeś wykres, więc pewnie odpowiednie nierówności były w treści zadania. 1 ≤ xy ≤ 3 0 ≤ x ≤ y ≤ 2x lub 2x ≤ y ≤ x ≤ 0

Jan: W treści zadania był podany wyłącznie obszar D zadany 4 funkcjami. I to je naszkicowalem

jc: Skąd widziałeś, które obszary wybrać?