uzupełnij do bazy halo baza pure gold: Mamy 3 wektorki: v₁ = [3,2,1,5] v₂ = [4,−1,2,3] v₃ = [1,3,−1,2] i mamy sprawdzić czy da się to uzupełnić do bazy przestrzeni liniowej V = R⁴. Wg mnie da się, bo rząd macierzy | 3 2 1 5 | | 4 −1 2 3| | 1 3 −1 2| = 3, więc są liniowo niezależne, więc możemy dobrać np. v₄ = [0,0,0,1] i mamy bazę przestrzeni liniowej R⁴ ( w końcu tych baz jest niesk wiele...) Dopsze myślę?

jc: Czyżby wyznacznik z macierzy 3x4?

jc: Teraz zobaczyłem słowo rząd. Po prostu wyznacznik często oznacza się pionowymi kreskami.

pure gold: wybacz, nie mam jeszcze pomysłu jak tu zrobić macierz nie znalazłem w skrypcie. Ale pomysł co do zadania chyba ok?

jc: Tak, to będzie baza, choć należałoby to jakoś sprawdzić.

pure gold: np robiąc macierz 4x4 3 2 1 5 4 −1 2 3 1 3 −1 2 0 0 0 1 i sprawdzając czy jej rząd jest 4 ? To by oznaczało, że są liniowo niezależne i mają 4 jedynki wiodące

pure gold: więc tak jakby możemy wtedy za pomocą a,b,c,d ∊ R utworzyć dowolny wektor z R⁴ za pomocą a*v₁ + b*v₂ + c*v₃ + d*v₄

Satan: Baza to inaczej najmniejszy liniowo niezależny zbiór generujący. Więc pokazując, że wektory są lnz oraz generują R⁴ pokazujesz, że są one bazą danej przestrzeni.

pure gold: lnz = liniowo niezależne? Ok, będą lin niezależne gdy rząd = 4, jak pokazać, że generują R⁴? Przecież skoro są 4 i są liniowo niezależne to z tego wynika, że generują R⁴, coś jeszcze trzeba pokazywać?

jc: Nie trzeba. Przy okazji, rząd (kolumnowy) macierzy = wymiar przestrzeni generowanej przez kolumny macierzy. Dodam, że rząd kolumnowy = rząd wierszowy.

pure gold: mhm, tak, wiem o tym. Dzięki. Własnie przed chwilą to odkryłem kiedy zorientowałem się że liczenie rzędu z macierzy w postaci wektorów jako kolumn i wierszy to to samo (w sensie wyniku)

Satan: Czyli wystarczy korzystać z tego, że jeśli są lnz i ich wymiar = dimR⁴, to są bazą?

pure gold: cholera jak są 4 liniowo niezależne to są bazą, o ile nie ma tam 0,0,0,0, ale 0,0,0,0 jest chyba lin zależny ze wszystkim. Więc nie widzę na razie haczyka ale chętnie go zobaczę

Satan: Wektor zerowy jest również jednoznacznie przedstawiany jako kombinacja liniowa wektorów bazowych, gdzie współczynniki przy tychże wektorach muszą być równe 0. Jest to też jedna z metod sprawdzania, czy wektory są lnz Sprawdź sobie, że jak masz bazę, to inaczej wektora zerowego nie otrzymasz.

jc: Jak masz 4 liniowo niezależne wektory w R⁴, to tworzą one bazę. Każdy wektor jest ich kombinacją liniową. Inaczej miałbyś więcej niż 4 wektory liniowo niezależne, a więc wymiar przestrzeni byłby większy niż 4, a R⁴ ma wymiar 4.

Satan: Dobra, rozumiem, dziękuję jc za naprostowanie

pure gold: dzięki jc prosto krótko na temat sztywniutko