Dowód równoliczność Satan: Dowód z równoliczności. A ~ B ∧ C ~ D ⇒ A x C ~ B x D Skoro A ~ B ∧ C ~ D, to istnieją dwie funkcje takie, że: f: A → B jest 1−1 oraz na g: C → D jest 1−1 oraz na Stwórzmy więc funkcję: h: A x C → B x D oraz niech h( <a, c> ) = <f(a), g(c) >, gdzie a ∊ A, c ∊ C, f(a) ∊ B, g(c) ∊ D Trzeba udowodnić w takim razie, że h jest 1−1 oraz jest na. (1) Udowodnijmy, że h jest 1−1. Załóżmy, że istnieje v ∊ A i v ≠ a oraz, że istnieje u ∊ C i u ≠ c. Skoro tak, to wiemy, że f(a) ≠ f(v), bo f jest 1−1 oraz g(c) ≠ g(u), bo g jest 1−1. Stąd wiemy, że h(<a, c>) ≠ h(<v, u>), bo jeśli by tak nie było, to <f(a), g(c)> = <f(v), g(u)>, a więc f(a) = f(v) oraz g(c) = g(v), co byłoby sprzeczne z tym, że f i g są 1−1. Stąd h jest 1−1. (2) Udowodnijmy, że h jest na Jeśli h jest na, to istnieje E x F ⊆ A x C taki, że: h⁻¹[B x D] = { <x, y> ∊ E x F: h(<x, y>) ∊ B x D} = { <x, y> ∊ E x F: <f(x), g(y)> ∊ B x D} Ale wiemy, że f jest na, stąd f⁻¹[B] = A, analogicznie g⁻¹[D] = C Stąd h⁻¹[B x D] = A x C Wobec tego h jest na. Więc skoro h: A x C → B x D jest 1−1 oraz na, to A x C ~ B x D. Czy taki dowód jest jak najbardziej poprawny? Zwłaszcza rozumowanie o surjekcji.

Adamm: Sprawdzam tylko to o suriekcji "Jeśli h jest na, to istnieje E x F ⊆ A x C taki, że: h−1[B x D] = { <x, y> ∊ E x F: h(<x, y>) ∊ B x D} = { <x, y> ∊ E x F: <f(x), g(y)> ∊ B x D}" To usuń, bez sensu "Ale wiemy, że f jest na, stąd f−1[B] = A, analogicznie g−1[D] = C Stąd h−1[B x D] = A x C" Chyba chodzi ci o to żeby pokazać tą równość, a nie pomachać rękoma, prawda?

Satan: Hm, nie bardzo tę część rozumiem. Zdaję sobie sprawę, co to surjekcja, ale ciężko mi pokazać w jakiś sensowny sposób, dlaczego tak jest. Widzę, że para <f(x), g(y)> będzie należeć do B x D, bo f(x) ∊ B oraz g(y) ∊ D. Więc dowolny element B, będzie obrazem pewnej wartości dla argumentu z A, wobec czego dla jakiegoś y ∊ B mamy y = f(x) dla pewnego x ∊ A. To samo mamy dla funkcji g, jednak nie jestem w stanie w jakiś sensowny sposób tego pokazać.

Adamm: pokażę że h jest suriekcją weźmy dowolny x∊BxD x = (b, d), b∊B, d∊D Istnieje a∊A i c∊C takie że b = f(a), d = g(c) wtedy h( (a, c) ) = (f(a), g(c)) = (b, d) = x Dla dowolnego x∊BxD wskazaliśmy taki y∊AxC że h(y) = x. Innymi słowy, BxD ⊂ h(AxC) ⇒ h(AxC) = BxD więc h jest na BxD Nikt aż tak tego nie rozpisuje, ale zrobiłem wyjątek.

Satan: Adamm, stokrotne dziękuję. Nie bardzo wiedziałem, jak to wykazać, wręcz to było ogółem dla mnie problematyczne, nie tylko tutaj. A dobrze wiadomo, że bez tego o równolicznościach mogę sobie pomarzyć. Myślę, że teraz trochę ćwiczeń i nie będzie to dla mnie problemem. Jeszcze raz: dziękuję