Pole powierzchni płata PolePłata: Obliczyć pole powierzchni płata Z = 2 − (x² + y²) nad obszarem D: {−1≤x≤1, −1≤y≤1} Generalnie mam problem z przejściem na współrzędne biegunowe w tym przypadku

piotr: P = ∫₋₁¹∫₋₁¹√1+(d(2 − x² − y²)/dx)²+(d(2 − x² − y²)/dy)²

jc: P=2∫∫√x²+y² dxdy Podziel kwadrat na 8 trójkątów. Pole całości uzyskasz mnożąc jedną całkę przez 8. Przejdź do zmiennych biegunowych. Kąt t będzie się zmieniał od 0 do π/4 (jeden z 8 trójkątów). Promień r będzie się zmieniał od 0 do 1/cos t bo r cos t ≤ 1. Do pracy!

jc: Oj, umknęła mi jedynka. Może być trudniej.

	1
∫dt ∫√1+r2 r dr =		∫(1+1/cos2t) dt
	3

podstawienie s=sin t?

	√2−s2
∫		ds ?
	1−s2

u²=2−s² ?

	u2
− ∫		du, o ile się nie pomyliłem, jakoś da się dokończyć.
	u2−1

jc: Oczywiście, √1+4r², ale to nie powinno zbytnio zmieniać rachunku.

jc:

	8
P=		∫[(1+1/cos2t)3/2 − 1] dt
	3

0≤t≤π/4 Trudniejszy składnik. ∫(1+1/cos²t)^3/2 dt s=sin t A może inne podstawienie?

jc: Teraz znów zgubiłem 4.

	2
P=		∫ [(1+4/cos2t) − 1] dt
	3

Teraz chyba jest dobrze.

jc: Nie jest tak źle.

	2
P=		(2 + ln 2 − π/4) ?
	3

Ale czy to jest liczba większa od 4? Jeśli nie, to trzeba powtórzyć rachunek. Niestety to niewiele ponad 1.

jc:

	2		4
P=		∫(1+		)3/2 dt − π/6
	3		cos2t

I dalej się komplikuje ...

jc: Komputer obliczył całkę, ale wynik jest straszny.

jc: Uprościłem wynik z komputera.

	2		1		7		π
Pole =		arcsin		+		ln 5 + 4 −
	3		√10		3		6

piotr: A mi wyszło tyle: 4−1/3 arctg(4/3)+(7 ln5)/3

jc: Tyle samo, tylko inaczej zapisane. Ciekawe, że π/2 − 2 arcsin(1/√10) = arctg (4/3).

jc: Faktycznie, sprawdziłem. Twój wzór jest ładniejszy