oblicz całkę podwójną UW: ∬x² ye^xy dxdy 0≤x≤1 0≤y≤2

san: up

Mila: ₀∫¹[x²*₀∫²ye^xy dy]dx=... ∫ye^xy dy=.. przez części ( x traktujesz jak stałą)

	exy
y=u, dv=exy, v=
	x

	y*exy		exy
..=		−∫1*		dy=
	x		x

	y*exy		exy		xyexy		exy
=		−		=		−		=
	x		x2		x		x2

	exy*(xy−1)
=
	x2

−−−−−−−−−−−−−−−wracamy do całki (1)

	exy*(xy−1)
0∫1[x2*[		]02dx=0∫1[e2x*(2x−1) −(e0*(−1)] dx=
	x2

=₀∫¹[e^2x*(2x−1) +1] dx=

	1		1
=0∫1(2x*e2x−e2x}+1)dx=[xe2x−		e2x−−		e2x+x]01
	2		2

=[e^2x*(x−1)+x]₀¹=e²*(1−1)+1−(e⁰*(−1)+0)=+1+1=2

jc: Dolny indeks y oznacza pochodną cząstkową względem y. x²y e^xy = y (e^xy)_yy ∫x²y e^xy dy = ∫y (e^xy)_yy dy = y (e^xy)_y − ∫(e^xy)_y dy = xy e^xy − e^xy ∫₀² x²y e^xy dy = 2xe^2x − e^2x + 1 ...