ile wyrazów ciągu jest równych 2? Nikto0: Witam. Wytłumaczy mi ktoś zadanie. Ciąg (an ) określony jest w taki sposób: a1 = 1 , zaś n −ty wyraz ciągu (an ) , gdy n≥ 2 , jest największym dzielnikiem liczby n mniejszym od n . Ile wyrazów ciągu (an) jest równych 2? Odpowiedź uzasadnij.

Jerzy: Zauważ,ze to ciąg : 1,1,1,2,1,3,1,4,3,5,1,... Dwójka wystepuje w tym ciagu tylko jeden raz ( to czwarty wyraz tego ciągu )

Nikto0: A możesz dowieść tegi że w późniejszych wyrazach nie pojawi się wynik równy 2

Satan: Tutaj trzeba nieco pomyśleć i porozważać nad tym, co wiesz o liczbach. Zacznijmy od rozróżnienia trzech przypadków: 1. Liczby pierwsze: Z definicji liczba pierwsza to taka liczba, która jest podzielna przez 1 oraz przez samą siebie. Z zadania wiemy, że ciąg a_n nie składa się z największych dzielników liczby n, więc jeśli liczba jest pierwsza, to jej drugim największym dzielnikiem jest 1. 2. Liczby parzyste: Jest to iloczyn liczb parzystych lub iloczyn liczby parzystej i nieparzystej (lub parzystych i nieparzystych). Nie będziemy rozbijać tego na przypadki, tylko spostrzeżmy jedną rzecz. Każdą liczbę parzystą można zapisać jako: n = 2m, gdzie m jest pewną liczbą złożoną, która może być parzysta, ale nie musi. Tutaj widać, że n jest podzielne przez 2 i przez m, stąd jeśli m > 2, to m będzie największym dzielnikiem liczby n. Kolejno będzie to 3, 4, 5, i tak dalej, w nieskończoność. 3. Liczby nieparzyste: Jest to iloczyn dwóch nieparzystych liczb, który daje się zapisać w postaci a = 2b + 1, gdzie b ∊ ℕ. My rozważymy iloczyn dwóch takich liczb, by sprawdzić jego podzielność: n = (2j + 1)(2k + 1) = 4jk + 2j + 2k + 1 = 2(2jk + j + k) + 1, gdzie j, k ∊ ℕ. Tutaj znowu widać, że liczba n jako iloczyn liczb nieparzystych jest nieparzysta, a więc jest podzielna tylko przez te liczby nieparzyste, stąd nie może być podzielna przez 2. Więc gdzie szukać? W liczbach parzystych. Dla m = 2 mamy n = 2*2 = 4, co w połączeniu z warunkiem zadania daje nam liczbę 2.

Satan: Oczywiście, co do liczby m − nie musi ona być liczbą złożoną, może być również liczbą pierwszą, ale efekt będzie ten sam

Jerzy: Krótko. Dla liczb pierwszych,tym dzielnikiem jest 1.Dla liczb złożonych,tylko dla 4 tym dzielnikiem jest 2,dla pozostaych liczb złożonych ten dzielnik dzielnik jest większy od 2.

Nikto0: A mogę zrobić tak m/2⩽2

Jerzy: Lepiej nic nie rób, tylko postaraj się zrozumieć,dlaczego w tym ciągu jest tylko jedna 2.

Jerzy: Masz kolejne liczby złożone: 4,6,8,9,10,12,14,15..... Wypisz największe dzielniki tych liczb,mniejsze od nich samych.

Nikto0: 2, 3,4,3,5,6,7,5

Jerzy: No i widzisz,że będą one coraz większe,więc nigdy nie będą równe 2 , czaisz ?

Jerzy: Czyli w całym ciągu występuje tylko jedna 2.

Nikto0: Rozumiem. Dzięki.

Nikto0: Satan A co się dzieje gdy m jest pierwsza?

Adamm: a_n = 2 wtedy 2|n i 2 jest największą taką liczbą ≠ n Gdyby n/2 > 2, to n/2 byłoby większym dzielnikiem n niż 2, różnym od n To by przeczyło temu że a_n = 2. Zatem n/2 ≤ 2, skąd n ≤ 4. Zatem n = 2 lub n = 4. Stąd oczywiście n = 4, bo a₂ = 1, a₄ = 2.

Nikto0: Jerzy A one chyba nie rosną powtarza się 5

Jerzy: Nie ma to znaczenia, powtarzają się i rosną, ale zawsze będą większe od 2.

Nikto0: A to co napisał Adamm jest poprawne?

Satan: Nikto, w przypadku dla parzystych? Wtedy wciąż m dzieli n, bo n = 2m, więc n jest złożona.

Nikto0: Może ktoś napisać czy to co pisze adamm jest poprawne?

Satan: A rozumiesz to?

jc: Tak, poprawne. Czego nie rozumiesz?

wredulus_pospolitus: może inaczej napiszę to co Adamm napisał: szukamy takich n dla których a_n = 2 1) w takim razie można zapisać, że n = 2*k ; k∊Z 2) n>2 więc k>1 3) k<3 (bo w przeciwnym razie k>2 więc a_n ≥ k > 2) Stąd mamy jedyną możliwość: k = 2 −> n = 4

Nikto0: a nie powinno być a_n≥ k ≥ 2

Bleee: Jeżeli k nie spełnia warunki k<3 to znaczy że zachodzi k≥3 czyli k>2

Nikto0: nie rozumiem podpunktu 3)

wredulus_pospolitus: n = 2*k czy zgodzisz się, że a_n ≥ k

Nikto0: tak.

wredulus_pospolitus: okey więc jeżeli k ≥ 3 to a_n ≥ k ≥ 3 >2 ... więc a_n > 2 w takim razie musimy zapisać (3) k <3 aby istniała szansa, że a_n = 2

wredulus_pospolitus: Zauważ, że warunki z 21:53 są warunkami KONIECZNYMI (ale nie wystarczającymi) w uogólnionym przypadku (gdybyśmy nie rozpatrywali 2 tylko jakąś dowolną liczbę)

Nikto0: nie wiem o co chodzi tutaj w takim razie musimy zapisać (3) k <3 aby istniała szansa, że an = 2

Jerzy: 13:44 masz a_n > 2 , a my szukamy takich a_n, które są równe 2 ( a_n = 2)

Nikto0: ok. rozumiem.

wredulus_pospolitus: jeżeli n = 2*k oraz k ≥ 3 to NAJWIĘKSZY dzielnik (ale mniejszy niż n) będzie równy dokładnie k ... a skoro k ≥ 3 to a_n = k ≥ 3 To może na innym przykładzie: zliczamy ile będzie a_n = 5 1) n = 5*k 2) k > 1 3) k ≤ 5 jeżeli k = 6 to n = 5*6 −> a₃₀ ≥ 6 jeżeli k = 7 to n = 5*7 −> a₃₅ = 7 jeżeli k = 8 to n = 5*8 −> a₄₀ ≥ 8 itd. tylko jeżeli k ≤ 5 to istnieje szansa, że a_n = 5 jeżeli k = 2 to n = 5*2 −> a₁₀ = 5 jeżeli k = 3 to n = 5*3 −> a₁₅ = 5 jeżeli k = 4 to n = 5*4 −> a₂₀ ≠ 5 bo a₂₀ = 10 jeżeli k = 5 to n = 5*5 −> a₂₅ = 5

wredulus_pospolitus: To zadanie w uogólnionej wersji mogło być nawet niezłym zadaniem na jakiś początkowy etap konkursu matematycznego.

Nikto0: Dzięki za pomoc.