Rachunek Różniczkowy Arce: czy ktoś umie zrobi ten przykład metodą przewidywania ? y''+y=2xsinx

nowak: potrafi

ABC: spróbuj postaci: y=x(ax+b)sinx+x(cx+d)cosx po zróżniczkowaniu i podstawieniu powinno dość ładnie wyjść (układ czterech równań)

Arce: Problem w tym że próbuję cały czas tego i dochodzę do takiego momentu ... Po tych wszystkich operacjach i uproszczeniach −2Ax*sinx+2Cxcosx+Acosx+Csinx−Bsinx+Dcosx=xcosx

Arce: I w sumie nie wiem jak mam przyrównać

ABC: przeliczyłem i wychodzi ładne rozwiązanie szczególne

	1		1
y=		x sinx −		x2 cosx
	2		2

ale tych przydługich rachunków nie będę wpisywać

Mariusz: y_j = C₁cos(x)+C₂sin(x) y_s=x((Ax+B)cos(x)+(Cx+D)sin(x)) y_s=(Ax²+Bx)cos(x)+(Cx²+Dx)sin(x) y_s'=(2Ax+B)cos(x)+(−Ax²−Bx)sin(x)+(2Cx+D)sin(x)+(Cx²+Dx)cos(x) y_s'=(Cx²+(2A+D)x+B)cos(x)+(−Ax²+(2C−B)x+D)sin(x) y_s''=(2Cx+(2A+D))cos(x)+(−Cx²+(−2A−D)x−B)sin(x)+(−2Ax+(2C−B))sin(x)+(−Ax²+(2C−B)x+D)cos(x) y_s''=(−Ax²+(4C−B)x+(2A+2D))cos(x)+(−Cx²+(−4A−D)x+2C−2B)sin(x) y_s''+y_s=(4Cx+(2A+2D))cos(x)+(−4A+(2C−2B))sin(x) D=−A C=B 4C=0 −4A=2

	1
A=−
	2

B=0 C=0

	1
D=
	2

	1		1
ys=−		x2cos(x)+		xsin(x)
	2		2

y = y_j + y_s

	1		1
y = C1cos(x) + C2sin(x) −		x2cos(x) +		xsin(x)
	2		2

ABC: bardzo ładnie Mariusz

Mariusz: Ja pisałem to zanim wysłałeś swoją odpowiedź ale gdzieś się pomyliłem w rachunkach i liczyłem dwa razy

jc: Może lepiej użyć liczb zespolonych? y=(ax² + bx)e^ix y''+y = [2a + 2(2ax+b)i] e^ix = xe^ix 4ai =1, a+bi=0, a=1/(4i), b= 1/4

	x−x2i
y=		eix
	4

	x+x2i
Dla ... = e−ix mamy sprzężenie y=		e−ix
	4

	eix − e−ix
Dlatego dla ...=2 sin x =		mamy
	i

	1
y =		(x sin x − x2 cos x)
	2

Mariusz: Oto sposób zbliżony do metody przewidywania ale nie wymagający zgadywania y''+y=2xsinx Skorzystajmy ze wzoru na transformatę pochodnej i z rożniczkowania obrazu (Wzór na transformatę pochodnej można wyprowadzić stosując całkowanie przez części a rożniczkowanie obrazu można wyprowadzić stosując różniczkowanie pod znakiem całki Leibniza)

	d		1
(s2Y(s)−sC2−C1)+Y(s)=−2		(		)
	ds		s2+1

	0*(s2+1)−2s*1
(s2+1)Y(s)=sC2+C1=−2
	(s2+1)2

	4s
(s2+1)Y(s)=sC2+C1=
	(s2+1)2

	s		1		4s
Y(s)=C2		+C1		+
	s2+1		s2+1		(s2+1)3

Zastosujmy teraz twierdzenie Borela o splocie ∫₀^tcos(u)sin(t−u)du sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B) sin(A−B)=sin(A)cos(B)−cos(A)sin(B) sin(A+B) − sin(A−B) = 2cos(A)sin(B)

1
	∫0t(sin(t)−sin(2u−t))du
2

1		1
	(usin(t)+		cos(2u−t))|0t
2		2

	1		1		1
=		((tsin(t)+		cos(t))−(0+		cos(−t)))
	2		2		2

	1
=		tsin(t)
	2

	1
∫0t(		usin(u)sin(t−u))du
	2

	1
=		∫0tusin(u)sin(t−u)du
	2

cos(A+B)=cos(A)cos(B)−sin(A)sin(B) cos(A−B)=cos(A)cos(B)+sin(A)sin(B) cos(A−B) − cos(A+B) = 2sin(A)sin(B)

1
	∫0tu(cos(2u−t)−cos(t))du
4

1		1
	∫0tucos(2u−t)du−		∫0tucos(t)du
4		4

	1		1
∫ucos(2u−t)du=		usin(2u−t)+		∫(−sin(2u−t))du
	2		2

	1		1
∫ucos(2u−t)du=		usin(2u−t)+		cos(2u−t)
	2		4

1		1
	(2usin(2u−t)+cos(2u−t))|0t−		u2cos(t)|0t
16		8

1		1
	((2tsin(t)+cos(t))−(0+cos(−t)))−		(t2cos(t)−0)
16		8

	1		1
=		tsin(t)−		t2cos(t)
	8		8

	4		4
y = C2cos(x)+C1sin(x)+		xsin(x)−		x2cos(x)
	8		8

	1		1
y = C2cos(x)+C1sin(x)+		xsin(x)−		x2cos(x)
	2		2

jc: Można wykorzystać rozkład na ułamki proste.

4s		1		i		i		2		2
	=		(		−		−		−		)
(1+s2)3		4		(s+i)2		(s−i)2		(s+i)3		(s−i)3

	1		1
y=		(ixe−ix − ixeix − x2e−ix − x2e−ix) =		(x sin x − x2 cos x)
	4		2

jc: Łatwa do zauważenia i poprawy literówka.

Mariusz: Z użyciem zespolonych tak by było Przekształcenie Laplace ma podobne zastosowanie co przewidywanie Oczywiście do znajdowania całki szczególnej równania niejednorodnego dobrze sprawdza się uzmiennianie stałych

trubadur: mysle ze pomocne w rozwiazaniu tego zadaniu bylyby szeregi taylora a takze zastosowanie poczwornej macieży

Arce: Dziękuje bardzo za wszystkie odpowiedzi