macierze
eliza: Na podstawie twierdzenia Kroneckera− Capelli oraz stosowanych reguł dotyczących obliczania
rzędu macierzy przeprowadź analizę rozwiązań następującego układu równań, względem parametru
k:
| ⎧ | x−y+3z=2 | |
| ⎨ | 2x+3y+z=1 |
|
| ⎩ | 4x+6y +2z=k | |
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu krok po kroku, z góry dziękuję
Satan: A co mówi twierdzenie?
Jeśli rankA oznacza liczbę lnz wierszy/kolumn oraz rankA = rank(A|b), to układ nie jest
sprzeczny. Co to nam mówi? Że rozwiązanie musi być generowane przez warstwę rozwiązań.
Najpierw skorzystajmy ze schematu Gaussa, aby wyznaczyć przestrzeń rozwiązań w zależności od
parametru:
1 −1 3 | 2
2 3 1 | 1
4 6 2 | k, odejmujemy dwa razy pierwszy wiersz od drugiego wiersza oraz 4 razy pierwszy
wiersz od trzeciego wiersza − czyli staramy się znaleźć postać schodkową macierzy.
1 −1 3 | 2
0 5 −5 | −3
0 10 −10 | k − 8, teraz od trzeciego wiersza odejmujemy dwukrotność drugiego:
1 −1 3 | 2
0 5 −5 | −3
0 0 0 | k − 2
Z powyższego wynika, że niewiadoma z jest zmienną niezależną, zaś zmienne x i y są zmiennymi
zależnymi. Znaczy to tyle, że będą one zależne od zmiennych niezależnych. Stąd też możemy
odczytać już jaki będzie wymiar warstwy rozwiązań: dimLin = 1, bo cały układ będzie wyrażony
przez zmienną z.
Co do rozwiązań układu:
Układ jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy b ∊ Lin{warstwa rozwiązań}. Na powyższej
macierzy widzimy, że trzecia współrzędna jest kombinacją liniową zerowych krotności zmiennych.
A to oznacza, że dostajemy równanie:
0 = k − 2, stąd dla k = 2 układ nie jest sprzeczny i ma jakieś rozwiązanie. Dla każdego innego
parametru otrzymamy sprzeczność.
PS − to tak obszernie, ale można szybciej. Widać, że trzecie równanie jest dwukrotnością
drugiego, a więc po pomnożeniu drugiego równania mamy:
4x + 6y + 2z = 2 oraz 4x + 6y + 2z = k
Stąd k = 2. Jeśli k ≠ 2, to otrzymujemy sprzeczność.
Mam jednak nadzieję, że schemat Gaussem oraz całe rozumowanie przyda się komuś "na zapas"
