rownanie rozniczkowe -problem polo: do rozwiazania mam rownanie rozniczkowe 3xy'−y=lnx+1, x>0 i y(1)=−2 Korzystajac ze schematu dla takich rownan: 3xy'−y=0

1		1
	dy=		dx
y		3x

calkujac obustronnie lewa strona wychodzi oczywiscie: ln|y|+C

	1
prawa strona: w zależności od "sposobu całkowania": ln(3x)+C, albo		*ln(x)+C
	3

więc y=3Cx albo y=C³√x dla y=C(x)³√x liczac pochodna i wstawiajac do wyjsciowego rownania skróci mi sie C(x) tak jak powinno, natomiast dla y=3C(x)x w rownaniu poczatkowym po wstawieniu zostanie C(x) i nie wiem dlaczego, bo przeciez oba te sposoby powinny byc sobie rownowazne przeciec, i nie wiem gdzie popelnilem blad. I kolejne pytanie, czy 3*C moge zapisać po prostu jako C (oczywiscie pamietajac ze to "inne" C)

polo:

	1		ln(x)+1
jeszcze przydalaby sie pomoc z o to taka calka:		∫		dx
	3		x4/3

Leszek:

	1
ln(3x) ≠		ln(x)
	3

polo: @Leszek Dobra już widze jaki glupi blad popelnilem przy liczeniu calki na poczatku <facepalm>

	1		ln(x)+1
Więc teraz zostaje jeszcze kwestia policzenia tej całki:		∫		dx
	3		x4/3

ICSP: przez części.

	1
f = ln(x) + 1 , g' =
	x4/3

Leszek: tej całki nie da się obliczyć za pomocą całek elementarnych ! skąd wyszła Ci taka całka , nie z tego równania !

polo: skad? a stad:y=C³√x

	1
uzmienniajac stala y=C(x)3√x, czyli y'=C'(x)3√x+		x−2/3*C(x)
	3

Wstawiajac do poczatkowego rownania 3xy'−y=lnx+1 wychodzi własnie o to taka całka

jc: ∫ x^−4/3 ln x dx = −3 ∫ (x^−1/3)' ln x = − 3 x^−1/3 ln x + 3 ∫x^−4/3 dx = − 3 x^−1/3 ln x − 9 x^−1/3

polo: @jc

	−3(log(x)+4)
Według wolframa wynik tej calki ∫x−4/3lnx dx jest		tobie natomiast
	x1/3

	−3(ln(x)+3)
wychodzi
	x1/3

polo: @jc Ah dobra teraz widze ze ty scalkowales x^−4/3*lnx zamiast x^−4/3*(ln(x)+1) wiec pewnie wynik zgadzalby sie Lecz wydaje mi sie ze pierwszy raz widze taka metode calkowania bo przez czesci to to chyba nie jest wiec jesli by mozna to bym poprosil o nazwe tejze metody zeby móc sie w nia zaglebic

jc: A nie zauważyłeś, że całkuję tylko pierwszy składnik? ∫x^−4/3 dx = − 3x^−1/3

polo: @jc Tak tak, zgadza się. Prosiłbym jeszcze o jakas nazwe tej metody całkowania zeby cos wiecej sie o niej dowiedziec

jc: Całkowanie przez części. ∫f 'g dx = fg − ∫fg' dx.

polo: Ah no tak, teraz to widze, wczesniej probowalem przez czesci ale nie wyszlo z powodu bledu obliczeniowego. Dzieki wszystkim za pomoc