Podać wszystkie możliwe wartości wyznacznika macierzy A helmans: Podać wszystkie możliwe wartości wyznacznika macierzy A, jeżeli A² + A⁻¹ = 0 Prosiłbym o pomoc i wyjaśnienie

Adamm: tw. Cauchy'ego mówi że det(AB) = det(A)*det(B) dla kwadratowych macierzy A i B

	(−1)n
det(A)2 = det(A2) = det(−A−1) =
	det(A)

det(A)³ = (−1)ⁿ det(A) = (−1)ⁿ czyli wyznacznik może być −1 dla macierzy wymiaru nieparzystego i 1 dla macierzy wymiaru parzystego

helmans:

	(−1)n
dlaczego det(−A−1)=
	det(A)

skąd się bierze n ?

Adamm: jeśli n to wymiar A: det(x*A) = xⁿ*det(A) bierze się to stąd, że jeśli A' to macierz która bierze się z macierzy A przez przemnożenie jej jednej z kolumn lub wierszy przez jakąś liczbę x, to det(A') = x*det(A) i. e. możemy wyciągać liczby z kolumn/wierszy przed wyznacznik a mnożenie macierzy przez liczbę to mnożenie wszystkich elementów (tutaj uwaga techniczna, nie dzielimy przez 0 w procesie) x*A bierze się z A przez przemnożenie jej wszystkich n wierszy przez x, i z wszystkich tych n wierszy możemy wyciągnąć x, więc det(x*A) = xⁿ*det(A) jest to własność którą warto po prostu zapamiętać

helmans: Okej, rozumiem. Dziękuje A jak się zabrać za to ? Podać wszystkie możliwe wartości wyznacznika macierzy A, jeżeli A³ − 4A = 0 oraz rzA=5

Adamm: Cóż, tak samo (prawie). Trzeba rozważyć dwa przypadki. A nie może być wymiaru < 5, bo jest rzędu 5 1. A jest rzędu 5 wtedy det(A) ≠ 0 det(A³) = det(4A) ... det(A) = ... 2. A jest rzędu > 5 wtedy musi być det(A) = 0