Oszacowanie. Definicja Cauchy'ego granicy w punkcie. Mike: Czy to oszacowanie granicy lim_x−>2 x²=4: δ=min{√ε−4,2) jest dobre? Czy coś źle policzyłem? Bo odpowiedź jest inna

Adamm: nie jest dobre

Adamm: |x²−4| = |x−2|*|x+2| ≤ |x−2|(|x−2|+4) = |x−2|²+4|x−2| teraz jeśli |x−2| < δ, to |x−2|²+4|x−2| < δ²+4δ wystarczy wziąć √ε+4−2 = δ

PW: Nie jest to żadne "oszacowanie granicy", idzie o pokazanie, że granicą x² w pubnkcie 2 jest rzeczywiście liczba 4. Dla każdego ε > 0 musi istnieć δ>0, taka że dla x∊(2−δ, 2+δ) spełniona jest nierówność |x² − 4| < ε. Dla x = 2 jest spełniona, zaś dla x≠2 jest równoważna nierówności x² − 4 < ε x² < ε + 4 x∊(−√ε + 4, √ε + 4). Wystarczy więc przyjąć taką δ, by przedział (2 − δ, 2 + δ) mieścił się w przedziale (−√ε + 4, √ε + 4), to znaczy by −√ε + 4 ≤ 2 − δ i 2 + δ ≤ √ε + 4 δ ≤ 2 + √ε + 4 i δ ≤ √ε +4 − 2. Druga nierówność bardziej ogranicza liczbę δ, przyjmujemy zatem δ = √ε +4 − 2. Liczba δ jest oczywiście większa od 0 zgodnie z wymaganiem definicji. Miło by było, gdybyś napisał, czy jest to zgodne ze znaną Ci odpowiedzią.

Mike: Dziękuję za odpowiedź, właśnie taka jest odpowiedź, jeszcze raz bardzo dziękuję już rozumiem.