Twierdzenie Satan: Tak się zastanawiam nad pewnym twierdzeniem. Jeśli układ niejednorodny (NJ) jest niesprzeczny, to zbiorem rozwiązań jest warstwa przestrzeni wymiaru n − rankA, gdzie n oznacza liczbę kolumn (niewiadomych). No i teraz się zacząłem zastanawiać, czym to tak naprawdę wszystko jest. Czyli mając pewien układ jednorodny, bądź niejednorodny i mając macierz główną układu, to tak naprawdę macierz ta jest złożona z kolumn obrazów wektorów jakiejś bazy zapisanych w innej bazie? Dodatkowo: jeśli tak jest, to wtedy logicznym jest, że ImF = Lin{ A₁, ..., A_n}, gdzie A₁, ..., A_n byłyby obrazami wektorów bazy zapisane w innej bazie. Ale jeśli tak nie jest, to skąd wiadomo, że ImF = Lin{ A₁, ..., A_n}?

Satan: Dobra, co do drugiego, to wiem. Można zapisać, że AX = b, gdzie A jest macierzą główną układu, więc: x₁A₁ + ... + x_nA_n = b, stąd b ∊ Lin{ A₁, ..., A_n}. Pozostaje więc pierwsze pytanie

jc: Inne ujęcie: wymiar jądra + wymiar obrazu = wymiar przestrzeni, na której określone jest przekształcenie

Satan: Ale ogólnie rzecz biorąc, czy macierz główna jakiegoś układu niejednorodnego/jednorodnego jest lub może być macierzą jakiegoś przekształcenia liniowego?

jc: Tak.

Satan: Mógłbyś wskazać mi, gdzie mogę na ten temat poszukać informacji? Nie bardzo nawet wiem, czego to dotyczy i jak zadać zapytanie, by otrzymać na ten temat informacje.

jc: Myślę, że takie rzeczy powinny być w każdy podręczniku do algebry liniowej. choćby Komorowski: Od liczb zespolonych do ... strona 39. Na układ równań x+y+z=0 x+2y+3z=0 możesz patrzeć jak na równanie F(x,y,z)=(0,0), gdzie F(x,y,z)=(x+y+z, x+2y+3z) Zbiór rozwiązań nazywa się jądrem F. Obrazem F w naszym przykładzie jest R². Jądrem jest pewna prosta w R³ przechodząca przez (0,0,0). Wymiar jądra = 1, wymiar obrazu = 2, wymiar R³ = 3, 1+2=3.

Satan: Tak, do czegoś podobnego doszedłem chwilę temu Tylko tak się zastanawiam, co jest wynikiem takiego równania. Wedle mojej wiedzy, jeśli mamy macierz A i jest ona macierzą pewnego przekształcenia, to jeśli AX = b, to b = [α₁, ..., α_n] będzie współrzędnymi przekształcenia wektora X zapisanego w bazie przeciwdziedziny. Tak jest, czy się mylę?

jc: Cóż to jest wynik równania? b należy do obrazu A ⇔ równie Ax=b ma rozwiązanie.

Satan: Tak. A mam na myśli to, że jak mamy macierz A, która jest macierzą pewnego przekształcenia liniowego, to jej kolumny są obrazami wektorów z bazy dziedziny. Skoro tak jest, to znaczy, że odwołując się do analogii: [F(v)]_B = m_B^A(F)*[v]_A Oznacza to tyle, że mając układ AX = b, gdzie A jest macierzą pewnego przekształcenia liniowego, X jest w takim razie wektorem zapisanym w bazie dziedziny, a b jest obrazem tego samego wektora zapisanego w bazie przeciwdziedziny? Wybacz, że Cię tak męczę, ale próbuję szukać związku w tym, co widzę