równanie z parametrem ite: Podaj zbiór rozwiązań równania: x²+axy+y²=0 Rozwiązuję równanie kwadratowe ze względu na x. Δ=(ay)²−4y²=y²(a−2)(a+2), Δ≥0 ⇒ (a≤−2 ∨ a≥2 ∨ y=0) Czyli dla a≤−2 ∨ a≥2 rozwiązaniem jest suma dwóch prostych, dla −2<a<2 rozwiązaniem jest punkt (0,0). W odpowiedziach dwie proste, a dla −2<a<2 zbiór pusty. Gdzie popełniam błąd?

PW: (0, 0) jest rozwiązaniem niezależnie od wartości parametru 'a', co jest oczywiste. Dla a=2 lmamy (x+y)² = 0, a dla a = −2 (x−2)² = 0 a więc rozwiązaniami są wszystkie pary (x, −x) lub (x, x). Jeżeli a<−2 lub a>2 i x≠0, to

	y		y
(		)2 + a(		) + 1 = 0
	x		x

Δ = a² − 4 > 0

	y		−a − √a2−4
		=
	x		2

	y		−a + √a2−4
		=
	x		2

to znaczy przy odpowiednich oznaczeniach y = px, x≠0 lub y = qx, x≠0. Po uwzględnieniu pierwszego zdania możemy stwierdzić, że rozwiązaniami są wszystkie pary (x, y), dla których y = px lub y = qx lub y = −x lub y = x. Ostatnie dwie możliwości można pominąć, jeżeli znajdziemy takie 'a', dla którego p=−1 oraz q = 1

	−a − √a2−4
		= −1
	2

a + √a²−4 = 2 √a²−4 = 2 − a a² − 4 = 4 − 4a + a² a = 2 (podobnie dla q=1 wyliczymy a = −2)) Odpowiedź:

	−a−√a2−4		−a+√a2−4
y = px lub y = qx dla p=		lub q =		dla a∊(−∞,−2>∪<2,∞).
	2		2

Dla a∊(−2, 2) rozwiązaniem jest para (0, 0). Nie popełniłaś błędu

Jerzy: Patrząc tylko na równanie ( bez jakichkolwiek obliczeń ) widać,że bez wzgledu na wartość a, jeśli tylko x = 0 lub y = 0 , równanie ma zawsze rozwiązanie (0,0)

ite: A jednak zrobiłam błąd: nie zauważyłam, że dla a=−2 i a=2 rozwiązaniem nie jest para ale tylko jedna prosta. Bardzo dziękuję za pomoc i odpowiedzi.