Obrazy bazy Satan: Mam taki mały fakt: Jeśli F: V → W jest przekształceniem liniowym oraz b₁, ..., b_n jest bazą V, to F(b₁), ..., F(b_n) generują ImF. Rozumiem, że z każdego zbioru generującego można wybrać bazę, ale na jakiej zasadzie działa powyższy fakt? Wiem, że ImF = {F(v): v ∊ V}, czyli jest to zbiór obrazów wektorów z przestrzeni V, ale co nam gwarantuje, że obrazy wektorów z bazy będą generowały liniową otoczkę całego zbioru ImF? Jak do tego dojść?

Satan: Hm, chyba coś wiem: skoro b₁, ..., b_n są bazą, to generują każdy inny wektor z przestrzeni V. W takim razie jeśli mamy F(v_i), gdzie v_i jest wektorem z przestrzeni V oraz v_i nie należy do bazy, to korzystając z tego, że F jest liniowe, możemy zapisać to tak: F(v_i) = F(α₁b₁ + α₂b₂ + ... + α_nb_n) = F(α₁b₁) + ... + F(α_nb_n) Tak więc stąd wynika, że otrzymamy każdy wektor z ImF, a więc jesteśmy w stanie wygenerować bazę ImF przy pomocy obrazów wektorów bazowych V?

ABC: niech y∊Im F, to istnieje x∊V że y=F(x) ale x=α₁b₁+...+α_nb_n stąd y=F(α₁b₁+...+α_nb_n)=(liniowość) α₁F(b₁)+...+α_nF(b_n) czyli generują, bazą być nie muszą bo F może nie być różnowartościowe

Satan: No tak, czyli dobrze myślałem A teraz korzystając z tego, że F(b₁), ..., F(b_n) generują ImF, to ImF = Lin{ F(b₁}, ..., F(b_n) }, a z każdego zbioru generującego można wybrać bazę, zgadza się?

ABC: można wybrać ale w treści nie podałeś że musisz znaleźć jakąś bazę

Satan: Tak, po prostu miałem jakieś zadanie na tym oparte, a dopiero potem podany fakt i chciałem go sobie udowodnić, a raczej wiedzieć, z czego to wynika. Teraz wszystko już jest w tym temacie jasne

Satan: Dziękuję uprzejmie, ABC