Równania rekurencyjne Adiseeker: Dzień dobry ,czy ktoś mógłby pomóc rozwiązać te zadanka? 2) Rozwiąż równanie rekurencyjne: an=an₋₁ − 2an₋₂ a0 = a1 = 1 Delta wychodzi ujemna ,więc nie wiem czy liczyć dalej? Czytałem ,że powinienem wtedy sięgnąć po

	1−√7i		1+√7i
liczby zespolone wtedy pierwiastki to		oraz
	2		2

,ale nie wiem jak dokończyć to zadanie. 3) Student wchodzi po schodach zbudowanych z n stopni pokonując w jednym kroku lewą nogą 1 lub 2 stopni, bądź prawą 2 lub 3 stopnie. Kroków nie musi wykonywać naprzemiennie prawą i lewą nogą. Niech an oznacza liczbę sposobów wejścia. Ułóż równanie rekurencyjne dla ciągu an.

Byku: Gdy delta jest ujemna nie liczysz dalej.

Satan: No, no. Chyba w szkole średniej tak jest.

an an−1		1 −2 1 0	an−1 an−2
	=

Równanie charakterystyczne ma postać: (1 − λ)(−λ) + 2 = λ² − λ + 2 Δ = 1 − 8 = −7 √Δ = i√7

	1 ± i√7
λ =
	2

Skorzystajmy w międzyczasie z tego, że:

an an−1		1 −2 1 0	an−1 an−2
	=			, to

an−1 an−2		1 −2 1 0	an−2 an−3
	=			, więc podstawiamy do pierwszego

równania robiąc tak n − 2 razy, bo wtedy sprawimy, że będziemy macierz mnożyli przez

	a1 a0
		i otrzymujemy:

an an−1		1 −2 1 0		a1 a0
	=		n − 2

Teraz trzeba zdiagonalizować macierz, zapisać ją w postaci diagonalnej, podnieść do odpowiedniej potęgi, wymnożyć i tak rozwiążesz równanie. Nie jest to trudne, tylko sporo liczenia.

Mila:

	1−√7*i		1+√7*i
1) an=A*(		)n+B*(		)n
	2		2

	1−√7*i		1+√7*i
a0=1=A*(		)0+B*(		)0⇔
	2		2

A+B=1

	1−√7*i		1+√7*i
a1=1=A*(		)1+B*(		)1⇔
	2		2

	1−√7*i		1+√7*i
A*(		)+B*(		)=1
	2		2

	1−√7*i		1+√7*i
A*(		)+(1−A)*(		)=1
	2		2

stąd

	1
A=		*(7+√7 i)
	14

	1		14−7−√7 i
B=1−		*(7+√7 i)=
	14		14

	1
B=		*(7−√7 i)
	14

	1		1−√7*i		1		1+√7*i
an=		*(7+√7 i)*(		)n+		*(7−√7 i)*(		)n
	14		2		14		2

==================================

Konrad "Novum" Kozłowski: Dzieki Adi, że wstawiles treści zadań! Podziękowania dla Mili za rozwiązanie.

Adiseeker: Dzięki wielkie! Może jakaś kawa lub coś Mila?

6latek: Ty sie odwal od mojej Pani z przedszkola