Funkcja kwadratowa vgxny: Witam, mam pytanie odnośnie wyniku poniższego zadania, gdyż otrzymałem dwa rozwiązania i nie wiem dlaczego jedno z nich należy odrzucić. Od razu mówię, że trochę się rozpisałem (może i niesłusznie). Treść: Dana jest funkcja f(x) = x² − 4x + c, która ma dwa różne miejsca zerowe. Miejsca zerowe funkcji g(x) = ax² + bx + 3 są trzy razy większe od miejsc zerowych funkcji f. Wyznacz współczynniki: a, b i c, jeśli te trójmiany mają takie same zbiory wartości. Proponowane przeze mnie rozwiązanie: Na początek zapisuję warunki podane w treści zadania i oznaczam miejsca zerowe funkcji: f(x) = x² − 4x + c ⋀ f(x) = 0 ⇔ x ∊ {x_1f, x_2f} g(x) = ax² + bx + 3 ⋀ g(x) = 0 ⇔ x ∊ {x_1g, x_2g} f(D_f) = g(D_g) x_1g = 3x_1f ⋀ x_2g = 3x_2f Teraz zapisuję wzory Viète'a dla poszczególnych funkcji: x_1f + x_2f = −(− 4)/1 = 4 ⋀ x_1f * x_2f = c/1 = c x_1g + x_2g = − b/a = 3x_1f + 3x_2f = 3(x_1f + x_2f) = 3 * 4 = 12 x_1g * x_2g = 3/a = 3x_1f * 3x_2f = 9x_1f * x_2f = 9c Następnie z otrzymanych zależności wyznaczam współczynniki b i c: − b/a = 12 ⇒ b = − 12a 3/a = 9c ⇒ c = 1/(3a) Przechodzę do warunku dotyczącego równoważności zbiorów wartości funkcji: f(D_f) = g(D_g) ⇔ q_f = q_q ⋀ a > 0 q_f = f(p_f) = (p_f)² − 4p_f + c q_g = g(p_g) = a(p_g)² + bp_g + 3 (p_f)² − 4p_f + c = a(p_g)² + bp_g + 3 Znając sumy miejsc zerowych obydwu funkcji wyznaczam współrzędną x−ową ich wierzchołków korzystając z równania osi symetrii: p_f = (x_1f + x_2f)/2 = 4/2 = 2 p_q = (x_1g + x_2g)/2 = 12/2 = 6 Podstawiam do poprzedniego równania: (p_f)² − 4p_f + c = a(p_g)² + bp_g + 3 2² − 4 * 2 + c = a * 6² + 6b + 3 c − 4 = 36a + 6b + 3 Teraz podstawiam wyznaczone przedtem współczynniki b i c: 1/(3a) − 4 = 36a + 6 * (−12a) + 3 36a − 72a − 1/(3a) = − 4 − 3 − 36a − 1/(3a) = −7 36a + 1/(3a) = 7 / * 3a 108a² + 1 = 21 a 108a² − 21 a + 1 = 0 Δ = (− 21)² − 4 * 108 * 1 = 441 − 432 = 9 ⇒ √Δ = 3 a₁ = (21 − 3)/216 = 1/12 ⋁ a₂ = (21 + 3)/216 = 1/9 Ostatecznie: a = 1/12 a = 1/9 b = − 12 * 1/12 = − 1 ⋁ b = − 12 * 1/9 = − 4/3 c = 1/(3a) = 1/(1/12) = 12 c = 1/(1/3) = 3 Prawidłową odpowiedzią jest drugi układ równań, i tu przechodzę do pytania − Dlaczego należy odrzucić pierwsze rozwiązanie? Jeżeli ktoś przez to przebrnął do końca to dziękuję za cierpliwość.

vgxny: Nieaktualne, gdyby ktoś na przyszłość potrzebował to funkcja g o współczynnikach a i b z pierwszego rozwiązania nie miałaby miejsc zerowych