CIĄGI bluee: Zapisz w postaci ułamka algebraicznego sumę 1+2x+3x²+4x³+...+nx^x−1, gdzie n^∊N, n>1 i x^∊R. W odpowiedzi mam takie coś: Zauważmy, że

	xn+1−1
1+2x+3x2+4x3+...+nxx−1=(1+x+x2+x3+x4+...+xn)'=(		)'
	x−1

	nxn+1−(n+1)xn+1		(n+1)n
=		', dla x≠1. Dla x=1 otrzymujemy		.
	(x−1)2		2

ICSP: tak

bluee: Wiem, że to jest poprawne, tylko tego nie rozumiem.

bluee: Tj. wiem,że pochodna f(x)=xⁿ wynosi f(x)'−nxⁿ⁻¹. Ale nie rozumiem jak to zostało zastosowane w tym zadaniu.

ICSP: porostu musisz zauważyć, że pochodna funkcji f(x) = 1 + x + x² + ... + xⁿ jest równa 1 + 2x + 3x² + ... nx^{n − 1}

bluee: Ale pochodna funkcji stałej wynosi 0.

bluee: Tj. Pochodna f(x)=1 wynosi 0, Pochodna f(x)=ax wynosi a.

Jerzy: Ale pochodna z x jest równa 1.

bluee: Ale tam jest 1+2x+3x²...

bluee: Czy pochodna nie powinna wynosić 0+2+3*2x+4*3x...

Jerzy: f(x) = 1 + x + x² +x³ .... f'(x) = 0 + 1 + 2x + 3x² ....

bluee: Ok. Ale w zadaniu nie ma f(x)= 1+x+x²+x³... Tylko f(x)=1+2x+3x²+4x³....

jc: Można inaczej. (1−x)(1+2x+3x²+...+nxⁿ⁻¹) = 1 + x+ x² + ... + xⁿ⁻¹ − nxⁿ

	1−xn
=		− nxn, jeśli x≠1
	1−x

	1−xn		nxn
1+2x+3x2+...+nxn−1 =		−
	(1−x)2		1−x

bluee: Wiem, że można inaczej, ale ja chciałabym zrozumieć kwestie pochodnej.

bluee: Dla mnie to wygląda tak jakby lewa strona równanie stawiła pochodną prawej.

ICSP: Tak, w ogólności właśnie o to chodzi.

bluee: Pierwszy raz spotykam się z takim rozwiązaniem.Czy w takim razie nawis z pochodną nie powinien być nałożony na lewą stronę równania?

ICSP: Zapisz równaniem co masz na myśli.

bluee: (1+2^x+3x²+4x³+...+nx^x−1)'=1+x+x²+x³+x⁴+...+xⁿ

jc:

	1−x6
1+x+x2+x3+x4+x5=
	1−x

	1−x6
(1+x+x2+x3+x4+x5)'=(		)'
	1−x

lewa strona = 1+2x+3x²+4x³+5x⁴

	1−x6		6x5
prawa strona =		−
	(1−x)2		1−x

jc: bluee, odwrotnie, pochodna prawej strony daje lewą

ICSP: (1 + 2x + 3x² + ... nx^{n − 1})' = 2 + 6x + ... + n(n − 1)x^{n − 2} i nie wygląda na to aby to wyrażenie mogło być równe : 1 + x + ... xⁿ. Czasem zwykłe przeliczenie daje odpowiedź.

bluee: No tak wsunie macie racje Przyjemnie z mądrym porozmawiać.