Wyznacz ekstrema lokalne i monotonicznosc funkcji Ola2410: Wyznacz ekstrema lokalne i monotonicznosc funkcji F(x) = (X³−1)/(x²+1)

wredulus_pospolitus: i kolejne zadanie z cyklu: "dajta mi gotowca"

Natka: Nie komentuję juz tego Napisze co mam poprawdzie mnie proszę, bo nie będę miała zaraz życia jak nie udowodnie, że próbowałam F'(x) =[3x²(x²+1)−(x³−1)*2x]/ (x²+1)²

wredulus_pospolitus: cieszę się, że szybko to zrozumiałaś (zarówno wzór na pochodną ilorazu jak i to, że wredny ze mnie typ ) ok ... pochodna dobrze policzona ... można by było licznik ładniej zapisać (wymnożyć nawiasy i dodać/odjąć co się da)

wredulus_pospolitus: I teraz: 1) NIGDY nie skracaj licznika z mianownikiem 2) ponieważ w takiej postaci pochodnej wiesz że mianownik jest ZAWSZE DODATNI (w dziedzinie funkcji), a jest to mocne ułatwienie przy wyznaczaniu monotoniczności

Natka: Zostaje x⁴+3x²+2x / (x²+1)²

wredulus_pospolitus: pierwsza uwaga (która zapewne Ci się przyda jeżeli będziesz mieć jakąkolwiek formę programowania) ... NAWIASY

	2x
x4 + 3x2 + 2x / (x2+1)2 znaczy tyle co x4 + 3x2 +
	(x2+1)2

natomiast Tobie chodzi o: (x⁴ + 3x² + 2x) / (x²+1)² ale poza tym ... tak dokładnie tak

wredulus_pospolitus: 3) i teraz ... punkty które MOGĄ (ale nie muszą) być ekstremami to taki punkty, dla których f'(x) = 0 4) co w Twoim przypadku jest równoznaczne z tym, że licznik = 0 ... czyli x⁴ + 3x² + 2x = 0

Natka: Wiem o nawiasach zgubilam Czyli co f(0) =0?

wredulus_pospolitus: nie nie ... f'(x) = 0

	x4 + 3x2 + 2x
czyli:		= 0 ... czyli x4 + 3x2 + 2x = 0
	(x2+1)2

i rozwiązujesz właśnie to równanie (szukasz rozwiązań tego równania wielomianowego)

wredulus_pospolitus: taka jedna uwaga ... czy w liczniku funkcji nie ma pomyłki? Czy to nie powinno być:

	x2−1
f(x) =
	x2+1

wredulus_pospolitus: a pytam się dlatego, że jedno z ekstrem funkcji zapisanej przez Ciebie (czyli w liczniku x³ − 1) jest wręcz idiotycznie ciężka do wyznaczenia i wątpię by takie zadanie było na studiach zaocznych

wredulus_pospolitus: Ty sprawdź notatki, a ja pójdę z psem i na fajkę.

Natka: Czyli f'(x) = 0 <=> (x4 + 3x2 + 2x)/ (x2+1)² > 0 Lub <0 to to?

Natka: No wlasnie nie te z x² sb poradzilam ale tego nie ogarniam

wredulus_pospolitus: to powiem Ci szczerze −−− ekstremum TEJ funkcji nie wyznaczysz rozwiązanie równania x⁴ + 3x² + 2x = 0 (poza 'oczywistym' rozwiązaniem x=0) wykracza poza program Twojego nauczania. Idę z psem na spacer, wrócę −−− podam Ci inną (podobną) funkcję i na jej podstawie zrobimy monotoniczność i wyznaczanie ekstrem funkcji, ok

Natka: Wtedy mi wyszlo wypukle dla x (−1/√3 , 1/√3) A wklesle (−∞, −1/√3) i (1/√3 , ∞) Jeśli f(x) (x²−1) / (x²+1)

Natka: Luuzik a jak uważasz, że nie na moją głowę to sb odpuscmy to tylko jeden przykład w plecy

wredulus_pospolitus: ten przykład MUSI być błędnie podany (albo ćwiczeniowiec zrobił jakąś gafę) bo

	(√2 − 1)2/3 − 1
x4 + 3x2 + 2x = 0 ⇔ x = 0 lub x =		<−−− i tego z
	(√2 − 1)1/3

całą pewnością nikt z roku by nie wyznaczył (pewnie ćwiczeniowiec by miał problemy by wyznaczyć tą wartość bez przypomnienia sobie odpowiedniej metody)

wredulus_pospolitus: wpis z 23:40 <−−− tak ... dobrze masz ... jedna uwaga: wyciągasz niewymierność z mianownika

Natka: Czyli √3 / 3

wredulus_pospolitus: to skoro zrobiłaś takie zadanie (z wklęslością/wypukłością) to tamto trzecie zadanie także powinnaś zrobić bez problemu

wredulus_pospolitus:

	1		√3
tak ...		=
	√3		3

wredulus_pospolitus:

	x3−1		x3−1
PS. a może w tym zadaniu zamaist f(x) =		masz f(x) =
	x2+1		x2−1

wredulus_pospolitus: no ale nie ważne ... widzę że wiesz jak odnaleźć ekstrema z pierwszej pochodnej lub punkty przegięcia z drugiej pochodnej

Natka: + jak byk też miliony razy sprawdzalam

wredulus_pospolitus: to jedyne co chciałbym się dopytać (i ewentualnie podpowiedzieć) to w jaki sposób wyznaczać monotoniczność czy też wklęsłość/wypukłość funkcji

Natka: Jak namaluje sb os to z niej odczytuje

wredulus_pospolitus:

	x3 − 1
to skoro f(x) =		to wyliczasz pochodną (którą masz dobrze wyznaczoną)
	x2 + 1

następnie zapisujesz, że x⁴ + 3x² + 2x = 0 x(x³ + 3x + 2) = 0 więc x = 0 ∨ x³ + 3x + 2 = 0 g(x) = x³ + 3x + 2 g(0) = 0 + 3*0 + 2 = 2 > 0 g(−1) = −1 + 3*(−1) + 2 = −2 < 0 więc jakieś rozwiązanie jest w przedziale ( −1, 0 ) ale NIE JESTEŚ W STANIE go wyznaczyć (bo nie jesteś) i niech prowadzący pokaże jak niby miałabyś to rozwiązanie (bądź rozwiązania) wyznaczyć.

Natka: Dobra odpuszczam poddaje się

wredulus_pospolitus: czyli stosujesz tzw. 'metodę wężyka', a nie rozwiązujesz nierówność: x(x³ + 3x + 2) > 0 ... tak Jeżeli tak to bardzo dobrze.

wredulus_pospolitus: to tylko szybkie sprawdzenie: podaj ekstrema i monotoniczność funkcji f(x), jeżeli f'(x) = −3x*(x²−4)*(x²+1)*(x−3)⁴