Rozwiązań równanie lubieponiedzialki: Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania: z³ = 2*z*(z sprzężone). Z góry dziękuję

PW: Ma być z³ = 2zz̅ ? Jeżeli tak, to zz̅=|z|², a więc z³=2|z|², jednym z rozwiązań jest z = 0. Dla z≠0 oznaczmy z = |z|(cosφ + i sinφ), wówczas z³ = |z|³(cos3φ+isin3φ) i równanie ma postać |z|³(cos3φ+isin3φ) = 2|z|², skąd (1) |z|(cos3φ+isin3φ) = 2. Prawa strona jest liczbą rzeczywistą, a więc sin3φ = 0 i tym samym cos3φ > 0 czyli cos3φ = 1, co podstawione do (1) daje |z| = 2. Po podstawieniu do (0) mamy z³ = 8. Rozwiązania tego równania to trzy liczby stanowiace pierwiastek trzeciego stopnia z 4:

	−1+i√3		−1−i√3
z = 2 lub z = 2		lub z = 2
	2		2

z = 2 lub z = −1+i√3 lub z = −1−i√3

PW: Korekta: W 3. wierszu od dołu powinno być (...) pierwiastek trzeciego stopnia z 8.

lubieponiedzialki: Dziękuję bardzo za odpowiedź. Wyszły mi dokładnie takie same wyniki, ale w odpowiedziach jest: z=0, z=√2, z=−√2. Nie mam pojęcia dlaczego. Być może jest błąd w książce.

PW: Oczywiście błąd. Wystarczy podstawić z=√2: prawa strona jest równa 4, a lewa 2√2. Podstawiając nasz wynik (−1−i√3) dostaniemy po prawej −2(1+i√3)(−1+i√3) = −2(−3−1)=8, i po lewej (−1−i√3)³ = −(1+i√3)³ = −(1+3i√3+3(i√3)²+(i√3)³) = −(1+3i√3−9−3√3i) = −(−8) = 8, a więc (−1−i√3) jest rozwiązaniem. W odpowiedzi należy podać cztery rozwiązania, już to że podali tylko trzy świadczy o błędzie w książce.