równanie miszcz: Dla jakich wartości parametru p∈R równanie x⁴+2(p−2)x²+p²−1=0 ma dwa różne rozwiązania?

ICSP: t = x² , t ≥ 0 t² + 2(p − 2)t + p² − 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki gdy : 1^o Δ > 0 ∧ t₁ t₂ < 0 2^o Δ = 0 ∧ t₀ > 0

6latek: Po podstawieniu t=x² i zakladajac ze Δ= b²−4ac>0 mamy

	c		b
a) jesli		>0 i −		>0 to t1>0 i t2>0 rownanie ma 4 rozwiazania
	a		a

	c
b) jesli		<0 to t1<0 i t2>0 i rownanie ma 2 rozwiazania
	a

	c		b
c) jesli		>0 i −		<0 to t1<0 i t2<0 rownanie nie ma rozwiazan
	a		a

No jest Ok ale kiedy takie rownanie dwukwadratowe ma 3 rozwiazania ? czy moze miec jedno rozwiazanie ?

miszcz: Dlaczego gdy delta jest wieksza od zera to musi zajsc warunek t₁t₂<0 i dlaczego w drugim t₀>0

alpha: kiedy takie równanie dwukwadratowe ma 3 rozwiazania? gdy t₁=0 i t₂>0

6latek: Kiedy iloczyn dwoch licz jest ujemny ?

6latek: OK

miszcz: i nadal nie wiem jak rozwiazac to zadanie ktos jest w stanie wyjasnic co skad sie bierze?

salv: Pierwszy przypadek który napisał ICSP. Zauważ, że równanie jest 4 stopnia. Jeżeli Δ=0 i t1t2<0 to jedno z miejsc zerowych musi być ujemne i z tego jednego rozwiązania dodatnie t1 wychodzą dwa rozwiązania x1, x2. A te założenie t1t2 się bierze z tego przy dwóch rozwiązaniach, żeby jedno nie było ujemne bo przecież np. x²=−4 nie da się rozwiązać, przynajmniej na poziomie maturalnym. Nie wiem czy to w miarę dobrze wytłumaczyłem, ale starałem się lopatologicznie, bo tak jest latwiej

ICSP: Porozwiązuj kilka równań dwukwadratowych to zobaczysz o co chodzi.

salv: Drugi * a pierwszy daje 4 rozwiązania z czego dwa nie da się obliczyć pewnie nie używając liczb zespolonych, więc zostają dwa rozwiazania x1, x2 z jednego t1 ze tak powiem, przy założeniu t1t2<0,a co do pierwszego t0 musi być >0 a dlaczego to już wywnioskuj na podstawie moich prób tłumaczeń D

miszcz: Czyli aby rownanie wyjsciowe mialo 2 rozne rozwiazania to rownanie z podstawionym t musi miec dokladnie jedno: w przypadku delty rownej 0 jedno rozwiazanie bedzie zawsze ale musi byc wieksze od 0 , bo t=x² t>=0 w przypadku delty wiekszej od 0 mamy dwa rozwiazania wiec trzeba jedno z nich wykluczyc dlatego iloczyn rozwiazan musi byc ujemny? dobrze zrozumialem salv?

salv: Tak

ICSP: "Czyli aby rownanie wyjsciowe mialo 2 rozne rozwiazania to rownanie z podstawionym t musi miec dokladnie jedno:" Dokładnie jedno dodatnie. O samej ilości rozwiązań równania kwadratowego decyduje (funkcja) wyróżnik. Opierasz się na własności: Jeżeli a > 0 to równanie x² = a posiada dwa rozwiązania rzeczywiste. Po sprowadzeniu równania do równania kwadratowego i dla przypadku drugiego dostajesz dwa pierwiastki t₁ , t₂. Następnie patrzysz na dwa równania : x² = t₁ , x² = t₂. i skoro rówananie typu x² = a generuje dwa rozwiązania rzeczywiste dla a > 0 to jedno z powyższych równań musi być sprzeczne co jest równoważne temu, ze liczby t₁ , t₂ mają różne znaki, wiec ich iloczyn jest ujemny. Porozwiązuj kilka równań dwukwadratowych to zobaczysz na jakiej zasadzie to działa.