trygonometria salv: Udowodnij,ze jesli α+β+γ=π,to cos²α+cos²β+cos²γ+2cosαcosβcosγ=1

ABC: jakieś własne próby?

salv: W pierwszej próbie uzylem wzoru cosα+cosβ.... ale wyszedł totalny bajzel,w drugiej pozamienialem cos²α na cos²(180−β−γ) i tak reszte cosinusów i potem wzór redukcyjny do wszystkich,ale też brzydko wyszło,więc nie zamieściłem swoich prób tutaj

ABC: sposób który ja znam jest długi więc tylko powiem jakie kroki 1)wyznaczyć cos γ z tw cosinusów 2) za a,b podstawić z twierdzenia sinusów , przekształcać 3) skorzystać z γ=π−(α+β) 4)skorzystać z jedynki tryg.

salv: dziekuje

ABC:

	asinβ		asinγ
wróć za b,c podstawić b=		, c=
	sinα		sinα

jc: cos γ = − cos(α+β)=−cos α cos β + sin α sin β cos γ + cos α cos β = sin α sin β podnosimy do kwadratu cos²γ + 2cos α cos β cos γ + cos²α cos²β = sin²α sin²β = (1−cos²α)(1−cos²β) = 1 − cos²α − cos² β + cos²α cos²β cos²α + cos²β + cos²γ + 2cos α cos β cos γ = 1

Maciess: Nie poszło by jakos szybciej? Nie wierze ze każą sie grzebac w takie żmudne obliczenia. Z założenia moge przyjąć że a β γ to kąty dowolnego trójkąta, tak?

Pytający: No nie, bo te kąty mogą się rozkładać np. tak −90, −90, 360

Maciess: fakt

jc: Przecież to nie jest straszny rachunek. Wzór na kosinus sumy kątów, podniesienie do kwadratu, jedynka trygonometryczna i uporządkowanie.