wykaż, że równanie jest większe bądź równe 4
Kranczer: Wykaż, że ab(1+ab)+ba(1+ba)≥4 jest spełniona dla wszystkich dodatnich liczb
rzeczywistych a i b.
w odpowiedziach zadanie kończy się na wyrażeniu
ab + ba + a2b2 + b2a2 ≥4
w którym | ↑ | ↑ |
| ≥2 ⊥ ≥2 |
−−−−−−−−−−−−−
| ↑ |
≥4
, zatem równanie jest prawdziwe dla a,b należących do R+
c. n. w.
ale totalnie nie rozumiem, dlaczego te dwa oddzielne wyrażenia są ≥2, i skąd im się to wzięło.
Proszę o pomoc.
27 kwi 14:08
iteRacj@:
a,b∊R
+
(a−b)
2≥0
a
2−2ab+b
2≥ 0 //+2ab
a
2+b
2≥ 2ab //:(ab)
Tak samo dla (a
2−b
2)
2≥0
W wyjściowej nierówności wymnożono nawiasy, otrzymując podaną w odpowiedzi postać.
27 kwi 15:00
jc:
0 ≤ (a−b)2 = a2−2ab+b2
a2+b2 ≥ 2ab
Jeśli a> i b>0, to obie strony możemy podzielić przez ab otrzymując
a/b + b/a ≥ 2
Jak zamienisz a, b na a2, b2, otrzymasz drugą nierówność.
27 kwi 15:02
PW: | a | | a2 | | b | | b2 | | a | | b | | a2 | | b2 | |
| + |
| + |
| + |
| = ( |
| + |
| ) + ( |
| + |
| ). |
| b | | b2 | | a | | a2 | | b | | a | | b2 | | a2 | |
Znane jest twierdzenie: dla x > 0 prawdziwa jest nierówność
Dwukrotne zastosowanie tego twierdzenia daje tezę.
Jeżeli nie znasz nierówności (1), to łatwo ją udowodnisz mnożąc obie strony przez dodatnie x i
rozwiązując nierówność kwadratową.
27 kwi 15:05