u debil:

	a6		b2
Wykaż, że jeżeli a ⁄= 0 i b ⁄= 0 , to a4+b4≤		+
	b2		a2

a⁸+b⁸−a⁶b²−a²b⁶≥0 nie wiem co dalej

www: https://www.zadania.info/d552/9515620

debil: tak, wiem ale szukam czegos innego (o ile istnieje)

Mila: Nie wiem, czy to różni się wiele? L=a⁸+b⁸−a⁶b²−a²b⁶= a²*(a⁶−b⁶)+b²*(b⁶−a⁶)= =a²*(a⁶−b⁶)−b²*(a⁶−b⁶)= =(a⁶−b⁶)*(a²−b²)= =(a³−b³)*(a³+b³)*(a−b)*(a+b)= =(a−b)*(a²+ab+b²)*(a+b)*(a²−ab+b²)*(a−b)*(a+b)= =(a−b)²*(a+b)²*(a²+ab+b²)*(a²−ab+b²)≥0 wszystkie czynniki nieujemne równość dla a=b

debil: no to skoro nie da sie latwiej, to zadanie poza moj poziom intelektualny xd ale i tak dzieki za pomoc ~debil

Mila: A czego nie rozumiesz? Nie znasz wzorów skróconego mnożenia?

Mila: Masz pytania to pisz

debil: znam, ale to nie ma byc gotowiec, a sposob na zrozumienie a po prostu wiem, ze sam bym nigdy nie wpadl zeby poprowadzic to zadanie akurat w taki sposob jak ty to zrobilas, za duzo jest mozliwosci, i za duzo z nich konczy sie slepym zaulkiem a tylko jeden sposob z tego co widze jest poprawny, wylaczenie a² i b² i grupowanie

jc: No to nauczyłeś się czegoś nowego. Spróbuj wykazać, że a⁵/b³ + b⁵/a² ≥ a² + b² dla a,b > 0.

PW: Czasem w takich zadaniach dostajemy łatwiejszą do udowodnienia zależność po podstawieniu b = ax, x≥1:

	a6		a6x6
(1) a4+x4a4 ≤		+
	a2x2		a2

	1
a4(1+x4) ≤ a4(		+x6)
	x2

	1
1+x4≤		+x6, x ≥ 1.
	x2

x² + x⁶ ≤ 1 + x⁸, x ≥ 1 x² − 1 ≤ x⁶(x² − 1), x ≥ 1, a ponieważ x²−1 ≥ 0, nierówność ta jest prawdziwa − dla x=1 po obu stronach są zera, a dla x >1 można podzielić obie strony przez dodatnie x²−1 otrzymując prawdziwą nierówność 1 ≤ x⁶, x > 1. Wniosek: Badana nierówność po podstawieniu b=ax, x ≥ 1, jest równoważna prawdziwej nierówności (1), jest więc prawdziwa. Uwaga: Założenie b≥a nie zmienia ogólności dowodu z uwagi na fakt, że zamiana b z a w badanej nierówności nie zmienia jej kształtu.

jc: Mała usterka (wpisałem 2 zamiast 3). a⁵/b³ + b⁵/a³ ≥ a² + b², a,b>0