okrag matu: Uzasadnij ze jezeli czworokat wypukły ma os symetrii to albo mozna na nim opisac okrag, albo mozna w niego wpisac okrag.

PW: Jeżeli czworokąt ma oś symetrii k, to 1) oś zawiera dwa jego wierzchołki (pozostałe dwa leżą w różnych półpłaszczyznach wyznaczonych przez oś k). 2) po każdej stronie osi k są dwa wierzchołki. Jeżeli ma miejsce 1) i oś k zawiera punkty A i C, to oś symetrii jest dwusieczną kąta A i dwusieczną kąta C (oczywiste, bo np. kąt CAB przekształca się na kąt CAD w symetrii, są to zatem kąty przystające) Weźmy dwusieczną kąta ABC, przecina ona oś k w pewnym punkcie S. Z uwagi na symetrię jest oczywiste, że w tym samym punkcie S dwusieczna kąta ADC przetnie oś k. Wniosek: Punkt S jest punktem wspólnym wszystkich dwusiecznych kątów czworokąta, co oznacza że jest środkiem okręgu wpisanego w czworokąt ABCD. Jeszcze tylko trzeba zdać sobie sprawę, w którym miejscu zadziałała wypukłość ABCD, i dowód można uznać za wystarczający.