matematykaszkolna.pl
powtórka Ulka: Zadanie maturalne
 x−y y−z z−x 
Niech x,y,z bedą bokmi dowolnego trójkąta. Pokaż że |

+

+

| <
 x+y y+z z+x 
1/8. Czy założenie o tym że x,y,z mają być bokami trójkąta jest istotne?
26 kwi 13:17
ZKS: Zauważ, że
 x − y y − z z − x 
|

+

+

| =
 x + y y + z z + x 
 (x − y)(y − z)(z − x) 
|

|.
 (x + y(y + z)(z + x) 
26 kwi 13:54
Ulka: Ale nadal dalej nie wiem , chyba trzeba teraz z warunku trójkata np x+y>z itdale jak wstawie to do mianownika to ułamek bedzie wiekszy
26 kwi 15:00
Ulka: ?
26 kwi 16:55
ZKS: z + x > y ⇒ x > y − z x + y > z ⇒ y > z − x y + z > x ⇒ z > x − y xyz > (x − y)(y − z)(z − x)
xyz (x − y)(y − z)(z − x) 

> |

|
(x + y)(y + z)(z + x) (x + y)(y + z)(z + x) 
26 kwi 18:06
ZKS: Z nierówność między AM − GM mamy:
x + y 

xy
2 
y + z 

yz
2 
z + x 

zx
2 
(x + y)(y + z)(z + x) 1 xyz 

≥ xyz ⇒


.
8 8 (x + y)(y + z)(z + x) 
26 kwi 18:16
Ulka: A jak na maurze odpowiedziec na to pytanie?
26 kwi 20:38
ZKS: Chodzi Ci o te pytanie "Czy założenie o tym że x,y,z mają być bokami trójkąta jest istotne?" ?
26 kwi 20:42
Ulka: Tak dokładnie
26 kwi 20:47
ZKS: Zostaje wykorzystana nierówności trójkąta oraz fakt, że długości boków trójkąta są liczbami dodatnimi stąd istotne jest założenie o tym iż x, y oraz z są bokami dowolnego trójkąta.
26 kwi 20:54
Ulka: A to nie trzeba podać jakiegoś przykładu tez?
26 kwi 20:57
ZKS: Jakiego znowu przykładu?
26 kwi 21:00
Ulka: No jakis trzech liczb które nie spełniaja tej nierównosciemotka
26 kwi 21:03
ZKS: Proszę Cię, podaj mi te liczby które nie spełniają tej nierówności. Przecież udowodniłem iż rzeczywiście taka nierówność zachodzi dla założeń jeżeli x, y i z są bokami dowolnego trójkąta.
26 kwi 21:11
mat: Nie no, Ulka ma dobre pytanie, bo np 3,2,1 nie są bokami a spełniają
26 kwi 21:16
mat: x=1, y=100, z=1000 chyba jest ok kontrprzykładem
26 kwi 21:27
ZKS: Osobiście zrozumiałem w ten sposób: jeżeli x, y oraz z są bokami dowolnego trójkąta to, czy istotny jest fakt, aby były to boki dowolnego trójkąta, żeby przez wszystkie takie liczby została spełniona dana nierówność. Mówiąc łopatologicznie, czy warunek, aby x, y oraz z były bokami dowolnego trójkąta jest potrzebne, aby wszystkie takie liczby spełniły daną nierówność.
26 kwi 21:34
PW: A tak poważnie − rzeczywiście jest to zadanie maturalne? Przecież 99% maturzystów nie jest w stanie tego pokazać.
26 kwi 23:30
Eta: Nawet 99,9% emotka
27 kwi 00:49