powtórka
Ulka: Zadanie maturalne
| x−y | | y−z | | z−x | |
Niech x,y,z bedą bokmi dowolnego trójkąta. Pokaż że | |
| + |
| + |
| | < |
| x+y | | y+z | | z+x | |
1/8.
Czy założenie o tym że x,y,z mają być bokami trójkąta jest istotne?
26 kwi 13:17
ZKS:
Zauważ, że
| x − y | | y − z | | z − x | |
| |
| + |
| + |
| | = |
| x + y | | y + z | | z + x | |
| (x − y)(y − z)(z − x) | |
| |
| |. |
| (x + y(y + z)(z + x) | |
26 kwi 13:54
Ulka: Ale nadal dalej nie wiem , chyba trzeba teraz z warunku trójkata np x+y>z itdale jak wstawie to
do mianownika to ułamek bedzie wiekszy
26 kwi 15:00
Ulka: ?
26 kwi 16:55
ZKS:
z + x > y ⇒ x > y − z
x + y > z ⇒ y > z − x
y + z > x ⇒ z > x − y
xyz > (x − y)(y − z)(z − x)
xyz | | (x − y)(y − z)(z − x) | |
| > | |
| | |
(x + y)(y + z)(z + x) | | (x + y)(y + z)(z + x) | |
26 kwi 18:06
ZKS:
Z nierówność między AM − GM mamy:
(x + y)(y + z)(z + x) | | 1 | | xyz | |
| ≥ xyz ⇒ |
| ≥ |
| . |
8 | | 8 | | (x + y)(y + z)(z + x) | |
26 kwi 18:16
Ulka: A jak na maurze odpowiedziec na to pytanie?
26 kwi 20:38
ZKS:
Chodzi Ci o te pytanie "Czy założenie o tym że x,y,z mają być bokami trójkąta jest istotne?" ?
26 kwi 20:42
Ulka: Tak dokładnie
26 kwi 20:47
ZKS:
Zostaje wykorzystana nierówności trójkąta oraz fakt, że długości boków trójkąta są liczbami
dodatnimi stąd istotne jest założenie o tym iż x, y oraz z są bokami dowolnego trójkąta.
26 kwi 20:54
Ulka: A to nie trzeba podać jakiegoś przykładu tez?
26 kwi 20:57
ZKS:
Jakiego znowu przykładu?
26 kwi 21:00
Ulka: No jakis trzech liczb które nie spełniaja tej nierównosci
26 kwi 21:03
ZKS:
Proszę Cię, podaj mi te liczby które nie spełniają tej nierówności.
Przecież udowodniłem iż rzeczywiście taka nierówność zachodzi dla założeń jeżeli x, y i z
są bokami dowolnego trójkąta.
26 kwi 21:11
mat: Nie no, Ulka ma dobre pytanie, bo np
3,2,1 nie są bokami a spełniają
26 kwi 21:16
mat: x=1,
y=100,
z=1000
chyba jest ok kontrprzykładem
26 kwi 21:27
ZKS:
Osobiście zrozumiałem w ten sposób:
jeżeli x, y oraz z są bokami dowolnego trójkąta to, czy istotny jest fakt, aby były to boki
dowolnego trójkąta, żeby przez wszystkie takie liczby została spełniona dana nierówność.
Mówiąc łopatologicznie, czy warunek, aby x, y oraz z były bokami dowolnego trójkąta jest
potrzebne, aby wszystkie takie liczby spełniły daną nierówność.
26 kwi 21:34
PW: A tak poważnie − rzeczywiście jest to zadanie maturalne? Przecież 99% maturzystów nie jest w
stanie tego pokazać.
26 kwi 23:30
Eta:
Nawet 99,9%
27 kwi 00:49