dowod - nierówność john: udowodnij że da dwóch dowolnych x, y ∊ R, prawdziwa jest nierówność: x²y² + 2x² + 2y² − 8xy + 4 > 0 x²y² + (x√2 − y√2)² − 4xy + 4 > 0 (x√2 − y√2)² + xy(xy − 2) − 2(xy − 2) > 0 (x√2 − y√2)² + (xy − 2)² > 0 Oba wyrażenia są zawsze nieujemne, a nam zależy na dodatnich, więc dodatkowo sprawdzam przypadki brzegowe dla x = −y pierwszy nawias się zeruje, a drugi przyjmuje postać: (y² +2)² co dla dowolnego y jest dodatnie, więc ok

	2
dla xy = 2, x =		, y≠0, wtedy drugi nawias się zeruje, a drugi przybiera postać:
	y

(2√2 + y2√2)2
y2

co również zawsze jest dodatnie, pozostaje wykluczony przypadek y = 0: wtedy mamy 2x² + 4, co jest parabolą skierowaną do góry, brak miejsc zerowych więc również wyrażenie jest zawsze dodatnie. Wiem że nieelegancka metoda, ale dobra?

jc: ok, choć można było prościej ... = (xy−2)² +2(x−y)² dla x=y=√2 mamy zero, więc nierówność raczej słaba.

jc: Coś jest jednak źle z treścią i z Twoim rozwiązaniem.

john: zapomniałem dopisać że x ≠ y

john: podbijam

jc: Skoro x≠y, to jeden ze składników jest dodatni (u Ciebie pierwszy, u mnie drugi), a ponieważ z drugi składnik jest nieujemny, więc suma jest dodatnia.

john: no właśnie widzę że przekombinowałem, ale chyba lepsze to niż nie napisać uzasadnienia bo się go nie widzi, dzięki

jc: No, nie wiem... Pierwszy nawias się zeruje dla x=y.