. kana: Niech f będzie nieujemną funkcją całkowalną na [a,b]. Uzasadnij, że jeśli zbiór miejsc zerowych funkcji f jest gęsty w [a,b], to ∫^b_a f(x)dx=0.

mat: Dowód nie wprost, sprowadzi się do tego, że na pewnym przedziale [c,d]⊂[a,b] funkcja f przyjmuje wartości dodatnie [co jest sprzeczne z gęstością zbioru {x: f(x)=0}

Adamm: ale to przecież nieprawda

Adamm: chyba że chodzi o całkowalność w sensie Riemanna? f jest całkowalna ⇔ zbiór jej nieciągłości jest miary 0 a w punktach ciągłości musi być równa 0 z gęstości {x: f(x) = 0} w [a, b] czyli ∫_a^b f(x) dx = ∫_{f jest ciągła} 0 dx + ∫_{f jest nieciągła} f(x) dx = 0+0 = 0