kw Michał: dla jakich wartosci parametru m równanie x² − x + m − m²=0 posiada dwa różne pierwiastki których różnica jest większa równa od 3 i mniejsza równa od 5 oraz których suma odwrotności jest mniejsza równa od −0,5?

Michał: nie rozumiem dlaczego warunek mus wygladać tak: 3≤|x₁ − x₂|≤5 skąd ta wartośc bezwględna ?

ZKS: x² − x + m − m² = 0

	1		1
x2 − x +		− (m2 − m +		) = 0
	4		4

	1		1
(x −		)2 − (m −		)2 = 0
	2		2

(x − m)(x + m − 1) = 0

	1
x = m ∨ x = 1 − m ∧ m ≠ 1 − m ⇒ m ≠
	2

	1		1		1
3 ≤ |m − 1 + m| ≤ 5 ∧		+		≤ −		.
	m		1 − m		2

Adamm: żeby nie dzielić przez 0, m−m² ≠ 0 ⇒ m∉{0, 1} Δ = 1−4m+4m² = (1−2m)² > 0 ⇒ m ≠ 1/2

	1		1
5≥|x1−x2|≥3,		+		≤−0,5
	x1		x2

25 ≥ (x₁+x₂)²−4x₁x₂ ≥ 9 25 ≥ 1−4m+4m² ≥ 9 5 ≥ |2m−1| ≥ 3 ⇒ m∊[−2, −1]∪[2, 3]

1		1		1
	+		≤−0,5 ⇒		≤−0,5 ⇒ (m−m2+1)2 ≤ 1
x1		x2		m−m2

⇒ −1 ≤ m²−m−1 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ m(m−1), (m−2)(m+1) ≤ 0 ⇒ m∊[−1, 0]∪[1, 2] ([−2, −1]∪[2, 3])∩([−1, 0]∪[1, 2])\{0, 1/2, 1} = {−1, 2}

Michał: dziękuję

ZKS: W sprawie pytania: moduł jest dlatego, ponieważ w treści nie jest powiedziane dla jakiej różnicy ma być spełniona ta nierówność. Skąd wiadomo, czy różnica ma wyglądać x₁ − x₂, czy może x₂ − x₁? Wartość bezwzględna załatwia tę sprawę, ponieważ |x₁ − x₂| = |x₂ − x₁|. Mam nadzieję, że to rozwiąże dalsze wątpliwości.

Michał: tak, tak wszystko jasne