funkcje a: Dla jakich wartości parametru p∊R równanie x⁴+(2p−4)x²+p²−1=0 ma dwa różne rozwiązania?

Jerzy: Trzeba podstawić : x² = t Teraz równanie kwdratowe musi mieć albo: a) jedno rozwiazanie dodatnie b) dwa rozwiaznia przeciwnych znaków

a: rozumiem,a z czego wynika dwa rozwiazania przeciwnych znakow?aby sie nie powtarzaly rozwiazania?

Jerzy: Nie. Jeśli istnieje jedno t > 0 , to x₁ = √t oraz x₂ = −√t, a jeśli istnieją dwa t₁ > 0 i t₂ < 0 , to drugie odpada, bo nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. Przy podstawieniu: x² = t , musimy załozyc: t ≥ 0 ( w tym zadaniu t > 0 )

Mokry: Założenie: x² = t t² + (2p−4)t + p² −1 =0 a= 1 b= (2p−4) c= (p²)−1 1. Delta > 0 2. x1*x2 < 0 Ze wzorów Vieta Odpowiedź to część wspólna tych dwóch warunków

Jerzy: @Mokry ... to nie jest kompletne rozwiazanie.

Mokry: @Jerzy a co jeszcze brakuje ?

Jerzy: podpunkt a) z 13:57

PW: Można spojrzeć tak: Wielomian po lewej stronie jest funkcją parzystą, tak więc każde rozwiazanie dodatnie x₀ ma "bliźniacze" rozwiązanie (−x₀) Wymaganie "równanie ma dwa rozwiązania" oznacza jedno rozwiązanie dodatnie i automatycznie drugie rozwiązanie ujemne. Wniosek: Równanie musi mieć dokładnie jedno rozwiązanie dodatnie. Po podstawieniu t=x² mamy (1) t² + (2p−4)t + (p²−1) = 0 Δ = 4p²−16p+16−4p²+4 = −16p+20 = 4(−4p+5)

	5
Co najmniej jedno rozwiązanie równania (1) istnieje gdy −4p+5≥0 czyli p≤		.
	4

Rozwiązanie (jedno!) musi być dodatnie, a więc

	−2p+4−2√−4p+5		−2p+4+2√−4p+5		5
		< 0 i		> 0, p≤
	2		2		4

−p+2 < √−4p+5 i √−4p+5 > p−2.

	5		3
Skoro p≤		, to p−2 ≤ −		, a więc druga z nierówności jest prawdziwa. Pierwsza
	4		4

nierówność ma obie strony nieujemne, a więc jest równoważna nierówności

	5
(−p+2)2 < −4p+5. p≤
	4

p²−4p+4 < −4p+5

	5
p2 < 1, p≤
	4

p∊ (−1, 1) Bardzo nagmatwałem?

a: Od tych wnioskow z nierownosciami musiałem trochę pomyśleć,ale fajnie rozwiazane, dzięki wszystkim