Macierz przekształcenia Elena: a) Przekształcenie T ma w bazie B = {v1, v2, v3} macierz: A = [ 1 2 3 / 4 5 6 / 1 1 0 ] Znaleźć macierz tego przekształcenia w bazie B′ = {2v1, v2 + v3, −v1 + 2v2 − v3}. Czy można wyznaczyć macierz tego przekształcenia korzystając z wzoru : A' = P⁻¹ * A * P gdzie P będzie macierzą przejścia z bazy B do B' czyli [ 2 0 0 / 0 1 1 / −1 2 −1 ] ? Wiem,że istnieje jeszcze wzór: A' = Q⁻¹ * A * P gdzie Q oraz P też są macierzami przejścia z bazy starej do nowej,z tym,że P byłoby wtedy macierzą utworzoną z bazy B ,a Q macierzą z bazy B'.Problem w tym,że nie wiem w jakich sytuacjach używa się którego wzoru

Satan: Nie można, bo nawet trzeba Wyznaczasz macierz przejścia, a potem to tylko działania na macierzach.

Satan: A co do drugiego wzoru − nie wiem, o co chodzi. Z opisu wynika, że obie są macierzami przejścia z bazy starej do nowej, to jest są postaci m_B'^B(id), a więc są równe.

Elena: Tylko gdy robię różnymi wzorami wychodzi inna macierz,stąd moje wątpliwości czy w przekształceniach trzeba uwzględniać we wzorze także macierz utworzoną z wektorów z bazy B.

Satan: Jakimi innymi wzorami? Wzór jest jeden. Mamy m_B^B(F) Wiemy, że m_B^B(F) = m_B^B'(id)*m_B'^B'(F)*m_B'^B(id) Ty szukasz macierzy m_B'^B'(F), czyli mnożymy odpowiednie strony przez odpowiednie macierze korzystając z tego, że: (m_B^B'(id))⁻¹ = m_B'^B(id) Nie wiem, jaki inny wzór znasz, więc możesz go tu napisać, bym mógł to zweryfikować.

Elena: Chodzi mi tylko o to czy w zadaniach gdzie mam wyznaczyć macierz przejścia muszę też uwzględnić macierz utworzoną z bazy B? Bo we wzorze który podałeś uwzględniona jest tylko macierz z B'.

Satan: Przecież tutaj jest uwzględniona macierz m_B^B(F). Mamy podaną macierz m_B^B(F) i szukamy m_B'^B'(F). Najlepiej napisz tu swoje rozwiązanie, bo nie bardzo wiem, o co Ci w tym momencie chodzi i się nie dogadamy w taki sposób A co do macierzy przejścia: tworzysz jedną, a drugą macierz przejścia wyliczasz poprzez operacje odwrotności.

Elena: Ok to najproście z którego wzoru korzystam? A' = P⁻¹ * A * P A' = [ 2 0 0 / 0 1 1 / −1 2 −1 ] ⁻¹ * [ 1 2 3 / 4 5 6 / 1 1 0 ] * [ 2 0 0 / 0 1 1 / −1 2 −1 ] czy A' = Q−1 * A * P A' = [ 2 0 0 / 0 1 1 / −1 2 −1 ] ⁻¹ * [ 1 2 3 / 4 5 6 / 1 1 0 ] * [ 1 0 0 / 0 1 0 / 0 0 1 ] tylko tutaj Q jest macierzą z B' a P macierzą z B. (wektory w macierzy zapisywałam pionowo)

Satan: A, tu tkwi szkopuł. Tylko ten pierwszy wzór jest poprawny. Jeśli zwrócisz uwagę, to zauważysz, że w drugim wzorze macierz P jest macierzą identycznościową. Wobec tego otrzymujemy: A' = Q⁻¹*A Dlatego tworzenie macierzy przejścia z bazy B do B jest bez sensu Dlaczego? Bo zawsze otrzymamy macierz identycznościową.

Elena: Chyba już zrozumiałam,tutaj w tym zadaniu mamy przekształcenie liniowe T: V → V i dlatego ten wzór A' = P−1 * A * P jest poprawny,ale gdy np. przekształceniem będzie T: U → V to korzystamy z A' = Q−1 * A * P ( i wtedy Q jest macierzą z V a P z U) tak?

Satan: Nie. Zobacz, co napisałem: macierz przejścia to przejście z jednej bazy, do drugiej. Odwzorowanie id obdywa się tylko z z jednej przestrzeni do tej samej przestrzeni. Czyli id: V → V. Niemożliwa jest identyczność np. z R² do R³. Właśnie dlatego nazywa się to macierzą przejścia, w domyśle z bazy do bazy. Nie wiem, czy istnieją macierze przejścia z jednej przestrzeni do drugiej, innej

Satan: Uczyli Cię jak rozpoznać, czy dobrze napisałaś macierze typu m_A^B = ...?

Satan: A, zapiszę. No więc sprawdzamy poprawność zapisu skracając bazy po przekątnej od góry, w dół, to jest: m_B'^B'(F) = m_B'^B(id)*m_B^B(F)*m_B^B'(id) I skracamy teraz bazy: z pierwszej macierzy B górne z B dolnym środkowej macierzy. A potem B górne z środkowej macierzy z B dolnym z ostatniej macierzy.

	B		B		B'		B'
Czyli tak obrazowo:		*		*		=
	B'		B		B		B'

Mam nadzieję, że to jest jasne

Elena: np. takie zadanie: L: U → V L: R³ → R², L(x,y,z)=(x−y,y−z) u1=(1,2,2) , u2=(1,1,1) , u3=(1,1,2) v1=(1,1) , v2=(1,0) i tutaj ten wzór A' = Q−1 * A * P się sprawdza bo Q będzie macierzą z V a P macierzą z U,natomiast macierz A = [ 1 0 / −1 1 / 0 −1 ] więc A' = [ 1 1 / 1 0 ] ⁻¹ * [ 1 0 / −1 1 / 0 −1 ] * [ 1 2 2 / 1 1 1 / 1 1 2 ]

Satan: Ale dlaczego zapisujesz, że kolumnami macierzy Q⁻¹ są wektory v₁, v₂? Napisz mi wzory tych macierzy w postaci m_baza1^baza2(przekształcenie)

Elena: Właśnie nie potrafię w inny sposób tego zapisać.. Dlaczego taki zapis jest niepoprawny?

Satan: A czym ogółem jest taka macierz? Czym jest zapisanie wektora w bazie? Co otrzymujemy? To jest ważne wiedzieć, co się robi.