Udowodnij, że następująca liczba jest niewymierna Paral: Udowodnij, że następująca liczba jest niewymierna: √n+1 − √n

6latek: Jesli pomnoze przez sume tych pierwiastkow to dostane

1
√n+1+√n

Ale to dalej nie jest to o co chodzi Tez sie zastanawiam nad tym zadaniem

Jerzy: Myślę,ze treba zastosować dowód nie wprost. Pokazać,że √n+1 − √n nie da się przedstawić

	p
w postaci
	q

6latek: Ale jak to zrobic ? Mozesz pokazac ?

Paral:

	p
załóżmy dla dowodu nie wprost, że √n+1 − √n =		jest liczbą wymierną oczywiście
	q

dla p, q należących do zbioru liczb całkowitych, n należy do naturalnych wtedy możemy to zapisać w postaci:

1		q
	=
√n+1 − √n		p

usuwając niewymierność z mianownika otrzymamy:

	q
√n+1 + √n =		co również będzie liczbą wymierną,
	p

teraz tworząc układ równań:

	p
√n+1 − √n =
	q

	q
√n+1 + √n =		i obliczając go otrzymujemy:
	p

	1		p		q
√n+1 =		(		+		) co też musi być liczbą wymierną oraz
	2		q		p

	1		p		q
√n =		(		−		), które również jest liczbą wymierną
	2		q		p

co oznaczałoby, że √n dla n należących do naturalnych musiałoby być zawsze liczbą wymierną, a to jest niemożliwe może coś takiego?

jc: f(x)=(x−√n+1−√n)(x+√n+1+√n)(x−√n+1+√n)(x+√n+1−√n) =x⁴−(4n+2)x+1 f(√n+1+√n)=0, ale wielomian f nie ma pierwiastków wymiernych, chyba, że n=0.

iteRacj@: @Paral nigdzie nie podajesz jakie ma być n, a przecież √0+1+√0 nie jest liczba niewymierną.

Paral: Zapomniałem dodać w treści zadania, że n należy do zbioru liczb naturalnych i przyjmujemy, że 0 do tego zbioru nie należy

jc: Miało być f(x)=x⁴−(4n+2)x²+1 (zgubił się kwadrat) Jedyni kandydaci na pierwiastki wymierne to x=1 i x=−1. f(1)=f(−1)=−4n≠0 dla n≠0

Paral: @jc dlaczego można zapisać to jako taki wielomian: f(x)=(x−√n+1−√n)(x+√n+1+√n)(x−√n+1+√n)(x+√n+1−√n)?

jc: Chodzi o to, że tak określony wielomian ma współczynniki całkowite, a jednym z pierwiastków jest √n+1−√n. Teraz zauważyłem małą usterkę, miało być f(√n+1−√n)=0. W przypadku wielomianu o współczynnikach całkowitych możemy stosować twierdzenie o pierwiastkach wymiernych.

Paral: Dziękuje bardzo!