Zadania konkursowe
RubikSon: Mam problem z kilkoma archiwalnymi zadaniami z konkursu matematycznego. Oto one:
1) Wykazać, że rozwiązanie (x, y, z) układu równań k{(x+y+z)(8x+y)=a
6+2a
3b
3
&(x+y+z)(8y+z)=b
6+2b
3c
3 &(x+y+z)(8z+x)=c
6+2c
3a
3 }, gdzie a, b, c∊ ℛ+ spełnia nierówność
Ix+y+zI≥abc
| | 1 | | 1 | | 1 | |
2) Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie |
| + |
| + |
| =1 |
| | x | | y | | z | |
| | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
3) Udowodnij nierówność: |
| + |
| + |
| +...+ |
| + |
| > |
| | n+1 | | n+2 | | n+3 | | 2n−1 | | 2n | |
4) Udowodnij, że z odcinków, które są środkowymi dowolnego trójkąta ABC można zbudować
trójkąt.
5) Udowodnij, że jeśli dla każdego x rzeczywistego f(x+2)+f(x−2)=0, to funkcja f jest
okresowa. Znajdź okres tej funkcji. Czy można wnioskować, że jest to okres zasadniczy?
6) Rozwiąż w liczbach całkowitych dodatnich równanie x(y+1)
2=243y
| | ⎧ | Ix−yI− IxI/x =−1 | |
| 7) Rozwiąż układ równań | ⎩ | I2x−yI+Ix+y−1I+Ix−yI+y−1=0 |
|
| | IACI | | a | |
8) Dany jest odcinek AB oraz taki jego punkt C, że |
| = |
| . Udowodnij, że dla |
| | ICBI | | b | |
dowolnego punktu
| | b | | a | |
P płaszczyzny zachodzi równość PC→= |
| PA→ + |
| PB→. (strzałka oznacza wektor) |
| | a+b | | a+b | |
9) Udowodnij, ze jeżeli suma odległości dowolnego punktu trójkąta ostrokątnego od jego boków
jest
równa długości jednej z wysokości trójkąta, to trójkąt ten jest równoboczny.
10) Wykaż, że jeżeli a, b, c są długościami boków trójkąta o polu równym 1, spełniającymi
warunek a≥b≥c, to b≥
√2
| | a2+(a−c)2 | | a−c | |
11) Uzasadnij, że jeżeli a2+b2=(a+b−c)2, to |
| = |
| , b≠c |
| | b2+(b−c)2 | | b−c | |
12) Niech r i R oznaczają odpowiednio promień okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie
| | r | |
prostokątnym. Wykaż, że |
| ≤√2−1. |
| | R | |
| | 1 | |
13) Wiedząc, że sinα+cosα= |
| , oblicz tg2α+ctg2α. |
| | 3 | |
Jeżeli ktoś zna odpowiedź na przynajmniej jedno zadanie oraz wie jak do tego dojść, byłbym
bardzo wdzięczny, za wysłanie tej odpowiedzi do zadania. Z góry dziękuję.