Funkcja tworząca. Sky: Dany jest ciąg a₀=1, a₁=2, a_n+2=a_n+1− a_n+n+2. Znajdź funkcję tworzącą ciągu. Doszłam do momentu: 1 + 2x + x∑ a_n+1xⁿ⁺¹ − x² ∑ a_nxⁿ + x²∑ nxⁿ + 2x²∑ xⁿ Wychodzi: x ∑ a_n+1xⁿ⁺¹ = x*(A(x)−a₀) x² ∑ a_nxⁿ = A(x) Ale niestety nie wiem co zrobić z x²∑ nxⁿ + 2x²∑ xⁿ. Jakieś sugestie?

Mariusz: ∑xⁿ − szereg geometryczny ∑nxⁿ Zacznij od szeregu ∑xⁿ i zróżniczkuj go

Mariusz: a₀ = 1 a₁ = 2 a_n+2=a_n+1−a_n+n+2 a₀ = 1 a₁ = 2 a_n=a_{n − 1}−a_{n − 2}+n A(x) = ∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=2^∞a_nxⁿ=∑_n=2^∞a_n−1xⁿ−∑_n=2^∞a_n−2xⁿ+∑_n=2^∞nxⁿ ∑_n=2^∞a_nxⁿ=x(∑_n=2^∞a_n−1xⁿ⁻¹)−x²(∑_n=2^∞a_n−2xⁿ⁻²) +∑_n=0^∞nxⁿ−0−x ∑_n=2^∞a_nxⁿ=x(∑_n=1^∞a_nxⁿ)−x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ) +∑_n=0^∞nxⁿ−x ∑_n=0^∞a_nxⁿ−1−2x=x(∑_n=0^∞a_nxⁿ−1)−x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ) +∑_n=0^∞nxⁿ−x ∑_n=0^∞a_nxⁿ=x(∑_n=0^∞a_nxⁿ)−x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ) +∑_n=0^∞nxⁿ+1+2x−x−x

	1
∑n=0∞xn =
	1−x

d		d		1
	(∑n=0∞xn)=		(		)
dx		dx		1−x

	−1
∑n=0∞nxn−1=		(−1)
	(1−x)2

	1
∑n=0∞nxn−1=
	(1−x)2

	x
∑n=0∞nxn=
	(1−x)2

	x
∑n=0∞anxn=x(∑n=0∞anxn)−x2(∑n=0∞anxn)+		+1
	(1−x)2

	x
A(x)=xA(x)−x2A(x)+		+1
	(1−x)2

	1−2x+x2+x
A(x)(1−x+x2)=
	(1−x)2

	(1−x+x2)
A(x)=
	(1−x+x2)(1−x)2

	1
A(x)=
	(1−x)2

Sky: Dziękuję

Mariusz: Powinno się zgadzać bo gdy rozwiniesz funkcję tworzącą w szereg dostaniesz a_n = n + 1 a ten ciąg spełnia równanie rekurencyjne