Udowodnij że dla kazdej liczby rzeczywistej Szymon8181: Udowodnij ze dla kazdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność:

sinx−1		sinx−2		1
	−		>=−
sinx−2		sinx−3		2

PW:

sinx−1		(sinx−2)+1		1
	=		= 1+
sinx−2		sinx−2		sinx−2

Podobnie

sinx−2		1
	= 1+		.
sinx−3		sinx−3

Po takich przekształceniach łatwiej odjąć, po lewej stronie otrzymamy

	1		1		sinx−3−sinx+2		−1
		−		=		=		=
	sinx−2		sinx−3		(sinx−2)(sinx−3)		(sinx−2)(sinx−3)

	1
= −
	(2−sinx)(3−sinx)

Dla sinx = −1 lewa strona ma wartość

	1		1
−		= −		,
	3•4		12

zaś dla sinx = 1

	1
−		.
	2

	π		π
Ponieważ funkcja sin(x) jest monotoniczna na przedziałach <kπ−		, kπ+		>, k∊C,których
	2		2

suma stanowi R, oznacza to że wartości lewej strony należą do przedziału

	1		1
<−		, −		>, co kończy dowód.
	2		12

ICSP: u = sin(x) − 2

u + 1		u		1		1		1		1
	−		= 1 +		− 1 −		=		−		=
u		u − 1		u		u − 1		u		u − 1

	−1		−1
=		≥
	u(u − 1)		2

PW: ICSP, dlaczego ja się tak męczę, a Ty napisałeś ostatnią nierówność jakby była oczywista?

ICSP: mamy ograniczenie dla u. Funkcja f(u) = u(u−1) jest ciągła i monotoniczna (na danym przedziale) Więc znamy wartość najmniejszą i największą.

PW: To znaczy wykonałes "w rozumie" pewną analizę, nie informując o tym czytelnika

ICSP: Jeżeli uczeń chociaż trochę pomyśli nad nierównością to nic mu się nie stanie. W szczególności, że szukanie maksymalnej i minimalnej wartości funkcji kwadratowej na zadanym przedziale nie jest rzeczą wykraczającą poza program liceum.